Question

20．在如图a所示的Oxy坐标系中，两互相平行的极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l．在第一、四象限有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于Oxy平面向里．位于极板左侧的粒子源沿x轴向右连续发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子．在0～2t₀时间内两板间加上如图b所示的电压（不考虑极板边缘的影响，0-t₀时间内P板的电势高于Q板的电势）．已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t₀时刻经极板边缘射入磁场．上述m、q、l、t₀、B为已知量．（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）

（1）求电压U₀的大小．
（2）求$\frac{{t}_{0}}{2}$时进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径．

Answer 1

分析 （1）t=0时刻进入两极板的带电粒子在电场中做类平抛运动．由题知道x方向位移为l，y方向位移为$\frac{l}{2}$，运用运动的分解，根据牛顿第二定律和运动学公式求解U．
（2）$\frac{1}{2}{t_0}$时刻进入两极板的带电粒子，前$\frac{1}{2}{t_0}$时间在电场中偏转，后$\frac{1}{2}{t_0}$时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动．根据运动学规律求出y方向分速度与x方向分速度，再合成求出粒子进入磁场时的速度，则牛顿定律求出粒子在磁场中做圆周运动的半径．

解答 解：（1）t=0时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，t₀时刻刚好从极板边缘射出，
则有 y=$\frac{1}{2}l$，x=l
由$E=\frac{U_0}{l}$…①，
Eq=ma…②，
y=$\frac{1}{2}l=\frac{1}{2}at_0^2$…③
联立以上三式，解得两极板间偏转电压为：${U_0}=\frac{{m{l^2}}}{qt_0^2}$…④．
 （2）$\frac{1}{2}{t_0}$时刻进入两极板的带电粒子，前$\frac{1}{2}{t_0}$时间在电场中偏转，后$\frac{1}{2}{t_0}$时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动．
由题，带电粒子沿x轴方向的分速度大小为：v_x=${v_0}=\frac{l}{t_0}$…⑤
带电粒子离开电场时沿y轴负方向的分速度大小为：${v_y}=a•\frac{1}{2}{t_0}$…⑥
带电粒子离开电场时的速度大小为：$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$…⑦
设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R，
 则有：$Bvq=m\frac{v^2}{R}$…⑧，
联立③⑤⑥⑦⑧式，解得：$R=\frac{{\sqrt{5}ml}}{{2qB{t_0}}}$
答：（1）两极板间偏转电压为$\frac{m{l}^{2}}{q{t}_{0}^{2}}$；
（2）带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为$\frac{\sqrt{5}ml}{2qB{t}_{0}}$．

点评 本题为带电粒子在磁场中的运动问题；考查了考生分析、推理和综合能力，试题涉及的知识点较多，但只要认真分析物理过程，找准物理过程对应的物理规律，还是容易求解．