Question

两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律分别如图1、图2所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向）。在t=0时刻由负极板释放一个初速度为零的带负电的粒子（不计重力）。若电场强度E₀、磁感应强度B₀、粒子的比荷均已知，且，两板间距。

（1）求粒子在0～t₀时间内的位移大小与极板间距h的比值。

（2）求粒子在板板间做圆周运动的最大半径（用h表示）。

（3）若板间电场强度E随时间的变化仍如图1所示，磁场的变化改为如图3所示，试画出粒子在板间运动的轨迹图（不必写计算过程）。

Answer 1

解法一：（1）设粒子在0～t₀时间内运动的位移大小为s₁

                                                     ①

                                     ②

又已知

联立①②式解得

                                               ③

（2）粒子在t₀～2t₀时间内只受洛伦兹力作用，且速度与磁场方向垂直，所以粒子做匀速圆周运动。设运动速度大小为v₁，轨道半径为R₁，周期为T，则

                                          ④

                                 ⑤

联立④⑤式得

                                         ⑥

又                                    ⑦

即粒子在t₀～2t₀时间内恰好完成一个周期的圆周运动。在2t₀～3t₀时间内，粒子做初速度为v₁的匀加速直线运动，设位移大小为s₂

                             ⑧

解得                               ⑨

由于s₁+s₂＜h，所以粒子在3t₀～4t₀时间内继续做匀速圆周运动，设速度大小为v₂，半径为R₂

                                   ⑩

                                

解得                             

由于s₁+s₂+R₂＜h，粒子恰好又完成一个周期的圆周运动。在4t₀～5t₀时间内，粒子运动到正极板（如图1所示）。因此粒子运动的最大半径。

（3）粒子在板间运动的轨迹如图2所示。

解法二：由题意可知，电磁场的周期为2t₀，前半周期粒子受电场作用做匀加速直线运动，加速度大小为

                方向向上

        后半周期粒子受磁场作用做匀速圆周运动，周期为T

       

        粒子恰好完成一次匀速圆周运动。至第n个周期末，粒子位移大小为s_n

       

        又已知 

        由以上各式得      

        粒子速度大小为    

       粒子做圆周运动的半径为     

       解得      

       显然        s₂+R₂＜h＜s₃

      （1）粒子在0～t₀时间内的位移大小与极板间距h的比值  

      （2）粒子在极板间做圆周运动的最大半径  

      （3）粒子在板间运动的轨迹图见解法一中的图2。