Question

如图甲所示，x方向足够长的两个条形区域，其y方向的宽度分别为l₁ = 0.1m和l₂ = 0.2m，两区域分别分布着磁感应强度为B₁和B₂的磁场，磁场方与xy平面垂直向里，磁感应强度B₂ = 0.1T，B₁随时间变化的图象如图乙所示。现有大量粒子从坐标原点O以恒定速度 v = 2×10⁶ m/s不断沿y轴正方向射入磁场，已知带电粒子的电量q = -2×10^-8C，质量m = 4×10^-16 kg, 不考虑磁场变化产生的电场及带电粒子的重力。求：

（1）在图乙中0～1s内，哪段时间从O发射的粒子能进入磁感应强度B₂的磁场？

（2）带电粒子打在磁场上边界MN上的x坐标范围是多少？

（3）在MN以下整个磁场区域内，单个带电粒子运动的最长时间和最短时间分别是多少？

Answer 1

（1）粒子在B₁磁场中运动时间极短，可视这极短时间内的磁场为恒定的匀强磁场，带电粒子在该磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有

，当r＝l₁时， ，代入数据得

    B₁ = 0.4 T。    ……①        （2分）

由右图可知，当B₁＝0.4T时，

t＝t′＝0.8s    ……②        （2分） 

因此，0～0.8s时间内B₁的值小于0.4T，粒子运动半径大于l₁，这段时间从O发射的粒子将进入磁感应强度B₂的区域。

（2）设粒子在B₂磁场中运动的半径为r₂，当B₁=0时，粒子打在MN上的A₁点为最左边的点。根据牛顿运动定律得

    ，

代入数据解得 

如右图几何关系可知 

A₁点的横坐标为

x₁ = r₂ –r₂ cosθ₁＝ m    ……③   （3分）

   下图中，若A₂为最右边点，则A₂为轨迹与边界MN的切点。过C₁点作速度方向的垂线，O₁为带电粒子在磁场B₁中运动的圆心，O₂为在磁场B₂中运动的圆心。由几何知识可得

，即 θ₂＝30°，

由此可得A₂点的横坐标x₂为

          

由几何知识可知此时

解得             ……④      （3分）

（3）粒子轨迹与MN相切时，粒子在磁场中运动轨迹最长，时间也最长。由于粒子在磁场中做匀速圆周运动，且轨迹左右对称，则粒子在磁场B₁中的运动时间为

                     ……⑤      （1分）    

   粒子在磁场B₂中的运动时间为

             ×10^－7 s     ……⑥    （1分） 

带电粒子在磁场中运动的最长时间为

                        ……⑦    （2分）

     随着磁场B₁逐渐增大，带电粒子在磁场中的运动时间先增大后减小，当B₁达到最大值时，运动半径为

               

此时带电粒子在B₁磁场中运动的时间为

                          ……⑧    （2分）

若B₁=0时，带电粒子在B₁、B₂磁场中运动的总时间为

                

所以带电粒子在磁场中的最短运动时间为

t₁′＝1.26×10^－7 s           ……⑨     （2分）