Question

7．如图，在水平面上有一弹簧，其左端与墙壁相连，O点为弹簧原长位置，O点左侧水平面光滑．水平段OP长L=1m，P点右侧一与水平方向成θ=30°角的皮带轮与水平面在p点平滑连接，皮带轮逆时针转动，速度为3m/s．一质量为1kg可视为质点的物块A压缩弹簧（与弹簧不连接），弹性势能E_p=9J，物块与OP段动摩擦因数μ₁=0.1；另一与A完全相同的物块B停在P点，B与皮带轮的摩擦因数μ₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，皮带轮足够长．A与B的碰撞为弹性碰撞且碰撞时间不计，重力加速度g取10m/s²，现释放A，求：
（1）物块A与B第一次碰撞前的速度；
（2）A、B第一次碰撞后到第二次碰撞前B运动的时间；
（3）A、B碰撞的次数．

Answer 1

分析 （1）从释放到与B碰撞前的过程，对A运用动能定理列式，即可求解物块A与B第一次碰撞前的速度；
（2）根据动量守恒定律和机械能守恒定律求出碰后A、B的速度．B获得速度后碰后B沿皮带轮向上匀减速运动直至速度为零，然后向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合，分段求出时间，即可得解．
（3）B与A第二次碰撞，两者速度再次互换，此后A向左运动再返回时与B碰撞，B沿皮带轮向上运动再原速返回，重复这一过程直至两者不再碰撞．每一次过程中损失的机械能为2μ₁mgl，根据整个过程能量守恒列式求解A、B碰撞的次数．

解答 解：（1）设物块质量为m，A与B第一次碰撞前的速度为v₀，由动能定理：
E_p-μ₁mgl=$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v₀=4m/s；
（2）设A、B第次碰撞后的速度分别为v_A，v_B，以A的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
mv₀=mv_A+mv_B，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv_A²+$\frac{1}{2}$mv_B²，
解得：v_A=0，v_B=4m/s，
碰后B沿皮带轮向上匀减速运动直至速度为零，加速度大小设为a₁，由牛顿第二定律：
a₁=$\frac{mgsinθ+{μ}_{2}mgcosθ}{m}$=gsinθ+μ₂gcosθ=10m/s²
运动的时间为：t₁=$\frac{{v}_{B}}{{a}_{1}}$=0.4s
运动的位移为：x₁=$\frac{{v}_{B}}{2}$t₁=0.8m
此后B开始向下加速，加速度仍为a₁，速度与皮带轮速度v相等时匀速运动，设加速时间为t₂，位移为x₂，匀速时间为t₃
则有：t₂=$\frac{v}{{a}_{1}}$=0.3s，x₂=$\frac{v}{2}$t₂=0.45m，t₃=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{v}$=0.117s
A、B第一次碰撞后到第二次碰撞前B运动的时间为：t=t₁+t₂+t₃=0.817s
（3）B与A第二次碰撞，两者速度再次互换，此后A向左运动再返回与B碰撞，B沿皮带轮向上运动再原速返回，重复这一过程直至两者不再碰撞．每一次过程中损失的机械能为2μ₁mgl，设第二次碰撞后重复的过程数为n，则：
$\frac{1}{2}$mv²=n×2μ₁mgl，
解得：n=2.25，故两者碰撞的次数为6次；
答：（1）物块A与B第一次碰撞前的速度为4m/s；
（2）A、B第一次碰撞后到第二次碰撞前B运动的时间为0.817s；
（3）A、B碰撞的次数为6次．

点评 本题首先要理清物体的运动过程，其次要准确把握每个过程所遵守的物理规律，特别要掌握弹性碰撞过程，动量和机械能均守恒，两物体质量相等时交换速度．