Question

如下图所示，水平地面上方的H高区域内有匀强磁场，水平界面PP′是磁场的上边界，磁感应强度为B，方向是水平的，垂直于纸面向里.在磁场的正上方，有一个位于竖直平面内的闭合的矩形平面导线框abcd,ab长为l1,bc长为l2,H>l2,线框的质量为m、电阻为R.现使线框abcd从高处自由落下，ab边下落的过程中始终保持水平，已知线框进入磁场的过程中的运动情况是：cd边进入磁场以后，线框先做加速运动，然后做匀速运动，直到ab边到达边界PP′为止.从线框开始下落到cd边刚好到达水平地面的过程中，线框中产生的焦耳热为Q.求：

（1）线框abcd在进入磁场的过程中，通过导线的某一横截面的电荷量是多少？
（2）线框是从cd边距边界PP′多高处开始下落的？
（3）线框的cd边到达地面时线框的速度大小是多少？

Answer 1

（1）q=
(2)h=-l2
(3)v2=

（1）设线框abcd进入磁场的过程所用时间为t，通过线框的平均电流为I，平均感应电动势为，则=
=
ΔΦ=Bl1l2可得
=·=
通过导线的某一横截面的电荷量
q=·t=.
（2）设线框从cd边距边界PP′上方h高处开始下落，cd边进入磁场后，切割磁感线，产生感应电流，受到安培力.线框在重力和安培力作用下做加速度逐渐减小的加速运动，直到安培力等于重力后匀速下落，速度设为v，匀速过程一直持续到ab边进入磁场时结束，有
ε=Bl1v
I=
F安=BIl1,F安=mg
可得=mg
速度v=
线框的ab边进入磁场后，线框中没有感应电流，只有在线框进入磁场的过程中有焦耳热Q.
线框从开始下落到ab边刚进入磁场的过程中，线框的重力势能转化为线框的动能和电路中的焦耳热
mg(h+l2)=mv2+Q
得h=-l2.
（3）线框的ab边进入磁场后，在只有重力的作用下加速下落，有
mv22-mv2=mg(H-l2)
cd边到达地面时线框的速度
v2=