Question

1．如图所示，水平轨道PAB与竖直光滑圆弧轨道相连，出口为水平轨道BE，其中，PA段光滑，AB段粗糙，动摩擦因数μ=0.1，AB段长度L=2m，半径R=1m，轻质弹簧左端固定于P点，右端处于自由状态时位于A点，现用力推质量m=2kg的小滑块，使其缓慢压缩弹簧（即推力做功全部转化为弹簧的弹性势能），当推力做功W=20J时撤去推力，重力加速度取g=10m/s²．
（1）判断小滑块能否到达C点，如果能，求出滑块到达C点的速度vc；如果不能，求出滑块能达到的最大高度h；
（2）求滑块第一次到达圆弧轨道最低点B时对轨道的压力；
（3）如果要使小滑块进入圆弧轨道后不能脱离轨道（滑回PAB或从BE滑出），推力做功W应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）根据功能关系求出小滑块速度第一次为零时上升的最大高度，即可作出判断．
（2）由动能定理求出滑块第一次到达点B时的速度，再由牛顿运动定律求对轨道的压力．
（3）小滑块进入圆弧轨道后不能脱离轨道，可能做完整的圆周运动，也可能在O点下方半圆周内做往复运动．求出最高点的临界速度，再由动能定理求W的范围即可．

解答 解：（1）从撤去推力到滑块第一次速度为零，上升的最大高度为h，根据动能定理得 W-μmgL-mgh=0
解得 h=0.8m，因h＜R，故滑块不能到达C点．
（2）设滑块第一次到达B点时的速度为v_B．
根据动能定理得：W-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在B点，根据牛顿第二定律有 N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得 N=52N
由牛顿第三定律知，滑块对轨道的压力大小为52N，方向竖直向下．
（3）要保证滑块不能脱离轨道，可分两种情况讨论：
Ⅰ、W较小时，通过B点且最高只能到达C点，应满足：
  μmgL＜W≤μmgL+mgR
可得 4J＜W≤24J．
Ⅱ、W较大时，当滑块恰能到达圆轨道的最高点时的速度为v，应满足
  mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
W=μmgL+2mgR+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 W=54J
综合Ⅰ、Ⅱ可得，要保证滑块不能脱离轨道，W应满足下面的条件：4J＜W≤24J或W≥54J．
答：
（1）滑块不能到达C点．滑块能达到的最大高度h是0.8m．
（2）滑块第一次到达圆弧轨道最低点B时对轨道的压力大小为52N，方向竖直向下．
（3）要保证滑块不能脱离轨道，W应满足下面的条件：4J＜W≤24J或W≥54J．

点评 本题运用功能关系和动能定理、牛顿运动定律研究时，关键要抓住滑块不脱离圆轨道有两种可能的情况，把握最高点的临界条件：重力等于向心力．