Question

10．如图所示，半径R=0.8m的光滑绝缘导轨固定于竖直平面内，加上某一水平方向的匀强电场时，带正电的小球沿轨道内侧做圆周运动，它的电量q=1.00×10^-7C．圆心O与A点的连线与竖直成一角度θ，在A点时小球对轨道的压力N=1.2N，此时小球的动能最大．若小球的最大动能比最小动能多0.32J，且小球能够到达轨道上的任意一点（不计空气阻力，g取10m/s²）．则：
（1）小球的最小动能是多少？
（2）小球受到重力和电场力的合力是多少？
（3）现小球在动能最小的位置突然撤去轨道，并保持其他量都不变，若小球在0.4s后的动能与它在A点时的动能相等，求小球的质量和电场强度．

Answer 1

分析 （1）（2）带电小球沿轨道内侧做圆周运动，受到重力和电场力作用，其合力是恒力，当合力沿OA连线向下时，小球通过A点时动能最大，通过关于O点对称的B点时动能最小．根据动能定理研究小球从B运动到A点的过程，求出重力与电场力的合力大小．根据牛顿第二定律和动能的计算式求出A点的动能，再求出小球的最小动能；
（3）在B点撤去轨道后，小球将做类平抛运动，由题，小球经0.02s时，其动能与在A点时的动能相等，说明小球经0.04s时偏转量等于2R，由位移公式和牛顿第二定律结合求出质量

解答 解：（1）、（2）小球在电场和重力场的复合场中运动，因为小球在A点具有最大动能，所以复合场的方向由O指向A，在AO延长线与圆的交点B处小球具有最小动能E_kB．设小球在复合场中所受的合力为F，则有：$N-F=m\frac{v_A^2}{R}$     
即：$1.2-F=m\frac{v_A^2}{0.8}=\frac{{{E_{kA}}}}{0.4}$
带电小球由A运动到B的过程中，重力和电场力的合力做功，根据动能定理有：
-F•2R=E_KB-E_KA=-0.32   
由此可得：F=0.2N，E_KB=0.8J    
即小球的最小动能为0.8J，重力和电场力的合力为0.2N．
（3）带电小球在B处时撤去轨道后，小球做类平抛运动，即在BA方向上做初速度为零的匀加速运动，在垂直于BA方向上做匀速运动．设小球的质量为m，则：
在BA方向上做初速度为零的匀加速运动，有：
2R=$\frac{1}{2}$$\frac{F}{m}$t² 
得：m=$\frac{Ft2}{4R}$=0.01kg  
由几何关系有：$cosθ=\frac{mg}{F}=\frac{1}{2}$     
故：θ=60⁰    
在垂直于BA方向上做匀速运动，有：Eq=Fsinθ         
解得：E=$\sqrt{3}×{10}^{6}N/C$，方向水平向左  
答：（1）小球的最小动能是0.8J；
（2）小球受到重力和电场力的合力是20N；
（3）小球的质量为0.01kg．电场强度为$\sqrt{3}×{10}^{6}N/C$ 方向水平向左

点评 本题可以运用竖直平面内绳子系住的小球运动进行类比，A相当于物理的最低点，B相当于物理的最高点