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    15．如图所示为了检验某种防护罩承受冲击力的装置示意图M是半径R=2.0m固定于竖直平面内的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，N为待检验的固定曲面，其在竖直面内的截面是半径r=$\sqrt{3}$m的$\frac{1}{4}$圆弧，圆心恰好位于M轨道顶端处，在M轨道下端相切处放置劲度系数很大的弹簧抢，利用它可发射质量均为m=0.01kg的小钢珠，取g=10m/s2．
    （1）要使发射出的钢珠经过M轨道顶端时对轨道压力不超过5mg，弹簧弹性势能EP的取值范围？
    （2）在出射速度不同的钢珠中能否找到这样的特殊钢珠，它经过M顶端后飞出，垂直打到曲面N上？并说明理由．
    （3）从M轨道顶端飞出后的钢珠，落到圆弧N上时的动能最小值是多少？

    分析 （1）钢球在M轨道顶端时，由合力提供向心力，根据牛顿第二定律列方程求解钢珠经过最高点时的速度，然后根据机械能守恒定律列式求解弹簧弹性势能EP的取值范围；
    （2）根据平抛运动的推论：速度的反向延长线交水平位移的中点，分析钢球能否垂直打到曲面N上．
    （3）根据动能定理和平抛运动的规律得到落到圆弧N上时的动能与下落高度的关系，再运用数学知识求解．

    解答 解：（1）设钢珠经过M轨道顶端时对轨道压力为5mg时速度为v．在最高点，根据牛顿第二定律得：
    N+mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
    由题有：N=5mg
    可得：v=2$\sqrt{30}$m/s
    这种情况下，弹簧弹性势能为：
    EP1=mgR+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
    解得：EP1=0.8J
    当钢珠沿轨道恰好能经过M轨道顶端时速度为v′，则有：
    mg=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$
    这种情况下，弹簧弹性势能为：
    EP2=mgR+$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
    解得：EP2=0.5J
    所以弹簧弹性势能EP的取值范围为：0.5J≤EP≤0.8J．
    （2）根据平抛运动的推论知，速度的反向延长线交水平位移的中点，可知经过M顶端的钢球，打到曲面N上速度的反向延长线不可能通过M的上端点，则不可能垂直于打到曲面N上．
    （3）设速度为v0的钢珠从M轨道顶端飞出后，落到圆弧N上时坐标为（x，y），动能为Ek．
    根据动能定理得：mgy=Ek-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
    根据平抛运动的规律有：x=v0t，y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
    得：v0=x$\sqrt{\frac{g}{2y}}$
    联立得：Ek=$\frac{mg}{4}$（$\frac{{r}^{2}}{y}$+3y）
    根据数学知识可知，当$\frac{{r}^{2}}{y}$=3y，即y=1m，Ek有最小值，且最小值为：Ekmin=0.15J
    答：（1）要使发射出的钢珠经过M轨道顶端时对轨道压力不超过5mg，弹簧弹性势能EP的取值范围是0.5J≤EP≤0.8J．
    （2）钢珠经过M顶端后飞出不会垂直打到曲面N上．
    （3）从M轨道顶端飞出后的钢珠，落到圆弧N上时的动能最小值是0.15J．

    点评 本题的关键要把握隐含的临界条件，学会运用函数法求解物理的最小值，即运用动能定律、平抛运动的规律得到动能表达式，再由数学知识求动能的最小值．解题

    练习册系列答案
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    A．Q1＞Q2B．Q1=Q2C．q1=q2D．q1＞q2

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    A．
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    粒子动能与位移关系
    C．
    粒子速度与位移关系    		D．
    粒子加速度与位移关系

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    C．整个过程中恒力做的功为9.75J
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    （1）这种实验数据处理的方法可称为B（填选项字母代号）．   
    A．控制变量法     B．等效替代法        C．比值法
    （2）图中t3=0.25s，若测得纸条c的长度为4.0cm，则v3=0.40m/s（保留两位有效数字）．
    （3）若测得纸条a的长度为2.0 cm，纸条f的长度为7.0 cm，则可求出加速度的大小为1.0m/s2（保留两位有效数字）．

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