Question

如图所示，x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于纸面向里、大小为B，x轴下方有一匀强电场，电场强度的大小为E，方向与y轴的夹角θ=45°且斜向上方．现有一质量为m、电荷量为q的正离子，以速度v₀由y轴上的A点沿y轴正方向射入磁场，该离子在磁场中运动一段时间后从x轴上的C点进入电场区域，该离子经过C点时的速度方向与x轴夹角为
45°．不计离子的重力，设磁场区域和电场区域足够大．
求：
（1）C点的坐标．
（2）离子从A点出发到第三次穿越x轴时的运动时间．

Answer 1

分析：带电粒子从A点出发，至第一次到x轴为第一过程，在这个过程中，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由“画轨迹、找圆心、求半径”的思路求解第（1）问，同时还可以求出这一过程的时间．（要尽力把图做准确）
带电粒子逆着电场力方向进入电场，在电场中做类似竖直上抛运动，这是第二过程．同牛顿第二定律和运动学公式，可以求这个过程的时间．
带电粒子没与x轴负向夹角为45°的方向进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动，此为第三过程．再一次由由“画轨迹、找圆心、求半径”的思路过求得这一过程的时间．

解答：解：
（1）磁场中带电粒子在洛仑兹力作用下做圆周运动，故有：qvB=m

v 2 0

r

同时有T=

2πr

v0

=

2πm

qB

粒子运动轨迹如图所示，由几何知识知，
xc=-(r+rcos45°)=-

(2+ 2 )mv0

2qB

故，C点坐标为(-

(2+ 2 )mv0

2qB

，0)．
（2）设粒子从A到C的时间为t₁，由题意知：
t1=

5

8

T=

5πm

4qB

设粒子从进入电场到返回C的时间为t₂，其在电场中做匀变速运动，由牛顿第二定律和运动学知识，有：
qE=ma
2v₀=at₂
联立以上解得：
t2=

2mv0

qE

设粒子再次进入磁场后在磁场中运动的时间为t₃，由题意得：
t3=

1

4

T=

πm

2qB

故而，设粒子从A点到第三次穿越x轴的时间为：
t=t1+t2+t3=

7πm

4qB

+

2mv0

qE

 答：（1）C点的坐标为(-

(2+ 2 )mv0

2qB

，0)．
（2）离子从A点出发到第三次穿越x轴时的运动时间为

7πm

4qB

+

2mv0

qE

．

点评：该题是一道综合性较强的题，解决此类问题的方法及关键：
（1）．寻找突破口（程序法：顺藤摸瓜，逆向思维法：反其道而行之．）
（2）．画好轨迹图（在画图的基础上特别注意运用几何知识寻找关系．）
（3）．巧选力学规律（力和运动的关系：根据带电粒子所受的力，运用牛顿第二定律并结合运动学规律求解．功能关系：根据场力及其它外力对带电粒子做功引起的能量变化或全过程中的功能关系，从而可确定带电粒子的运动情况，这条线索不但适用于均匀场，也适用于非均匀场．因此要熟悉各种力做功的特点．解决这类题时一定要注意临界条件的挖掘：如“恰好”、“最大”、“最多”、“至少”…等关键词，往往是解题的突破口．）