Question

6．探究能力是物理学研究的重要能力之一，物体因绕轴转动而具有的动能叫转动动能，转动动能的大小与物体转动的角速度有关．为了研究某一砂轮的转动动能E_K与角速度ω的关系，某同学采用了下述实验方法进行探索：（如图）先让砂轮由动力带动匀速旋转测得其角速度ω，然后让砂轮脱离动力，由于克服转轴间摩擦力做功，砂轮最后停下，测出砂轮脱离动力到停止转动的圈数n，通过分析实验数据，得出结论，经实验测得的几组ω和n如表所示：

ω/rad•s-1	0.5	1	2	3
EK/J	5.0	20	80	180
EK/J

另外已测得砂轮转轴的直径为1cm，转轴间的摩擦力恒为10牛．
（1）计算出砂轮每次脱离动力的转动动能，并填入表中
（2）由上述数据推导出该砂轮的转动动能E_K与角速度ω的关系式为2ω²．
（3）若测得脱离动力后砂轮的角速度为2.5rad/s，则它转过45圈后角速度为2rad/s．

Answer 1

分析 （1）砂轮克服转轴间摩擦力做功公式W=f•n•πD，f是转轴间的摩擦力大小，n是砂轮脱离动力到停止转动的圈数，D是砂轮转轴的直径．根据动能定理得知，砂轮克服转轴间摩擦力做功等于砂轮动能的减小，求解砂轮每次脱离动力的转动动能．
（2）采用数学归纳法研究砂轮的转动动能E_k与角速度ω的关系式：当砂轮的角速度增大为原来2倍时，砂轮的转动动能E_k是原来的4倍；当砂轮的角速度增大为原来4倍时，砂轮的转动动能E_k是原来的16倍，得到E_k与ω²成正比，则有关系式E_k=kω²．将任一组数据代入求出比例系数k，得到砂轮的转动动能E_k与角速度ω的关系式．
（3）根据动能与角速度的关系式，用砂轮的角速度表示动能，根据动能定理求出转过45圈后的角速度．

解答 解：
（1）根据动能定理得：E_k=f•n•πD，代入计算得到数据如下表所示．：

ω/rad•s-1	0.5	1	2	3
EK/J	5.0	20	80	180
EK/J	0.5	2	8	18

（2）由表格中数据分析可知，当砂轮的角速度增大为原来2倍时，砂轮的转动动能E_k是原来的4倍，得到关系E_k=kω²．当砂轮的角速度增大为原来4倍时，砂轮的转动动能E_k是原来的16倍，得到E_k与ω²成正比，则有关系式E_k=kω²．k是比例系数．将任一组数据比如：ω=1rad/s，E_k=2J，代入得到k=2J•s/rad，所以砂轮的转动动能E_k与角速度ω的关系式是E_k=2ω²
（3）根据动能定理得
-f•n•πD=2ω₂²-2ω₁²
代入解得ω₂=2rad/s
故答案为：（1）0.5，2，8，18；
          （2）2ω²；
          （3）2．

点评 本题考查应用动能定理解决实际问题的能力和应用数学知识处理物理问题的能力．注意摩擦力做功与路程有关．