Question

4．如图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置，与水平面夹角为θ，两导轨间距为L₀，M、P 两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下．导轨和金属杆的电阻可忽略．让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦．

（1）由b向a方向看到的装置如图乙，在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图；
（2）在加速下滑时，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小；
（3）求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值．
（4）若现在用沿导轨平面垂直于杆的恒力F将金属杆从底端无初速推过足够距离S到达某一位置，立即撤去此恒力．问金属杆从开始上推到滑回底端的全过程中，在回路里产生的焦耳热是多少？

Answer 1

分析 （1）导体棒受重力、支持力、安培力作用，根据受力作出受力示意图．
（2）根据切割产生的感应电动势公式、欧姆定律得出感应电流的大小，结合安培力公式得出安培力的大小，根据牛顿第二定律求出速度为v时的加速度．
（3）当导体棒加速度为零时，速度最大，结合安培力公式，运用共点力平衡求出最大速度．
（4）根据能量守恒求出回路中产生的焦耳热．

解答 解：（1）ab杆的受力分析图如图所示．
（2）ab杆切割产生的感应电动势E=BL₀v，则ab杆中的电流为：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{B{L}_{0}v}{R}$，
根据牛顿第二定律得，ab杆的加速度为：a=$\frac{mgsinθ-BI{L}_{0}}{m}$=$gsinθ-\frac{{B}^{2}{{L}_{0}}^{2}v}{mR}$．
（3）当加速度为零时，速度最大，有：mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{{L}_{0}}^{2}{v}_{m}}{R}$，
解得最大速度为：v_m=$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{{L}_{0}}^{2}}$．
（4）由题意知，推过足够距离S到达某一位置，滑回底端前已经做匀速运动，
根据能量守恒得：$FS=\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}+Q$，
解得：Q=$FS-\frac{{m}^{3}{g}^{2}si{n}^{2}θ}{2{B}^{4}{{L}_{0}}^{4}}$．
答：（1）受力如图所示．
（2）此时ab杆中的电流为$\frac{B{L}_{0}v}{R}$，其加速度的大小为$gsinθ-\frac{{B}^{2}{{L}_{0}}^{2}v}{mR}$．
（3）在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值为$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{{L}_{0}}^{2}}$．
（4）在回路里产生的焦耳热是$FS-\frac{{m}^{3}{g}^{2}si{n}^{2}θ}{2{B}^{4}{{L}_{0}}^{4}}$．

点评 本题考查了电磁感应和力学和能量的综合运用，掌握切割产生的感应电动势公式、安培力的表达式、闭合电路欧姆定律是解决本题的关键．