Question

5．两颗行星各有一颗卫星绕其表面运行，已知两卫星的周期之比为1：2，两行星的半径之比为2：1，则下列结论正确的是（　　）

• A． 两行星的质量之比为16：1
• B． 两行星的密度之比为1：4
• C． 两行星表面处重力加速度之比为8：1
• D． 两卫星的速率之比为4：1

Answer 1

分析 根据万有 引力提供向心力得出中心天体质量，结合周期之比和行星的半径之比求出两行星的质量之比，从而得出密度之比．根据万有引力等于重力求出重力加速度的表达式，从而得出重力加速度之比．根据两卫星的周期之比求出速率之比．

解答 解：A、根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，行星的质量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，因为行星半径之比为2：1，周期之比为1：2，则两行星的质量之比为32：1，故A错误．
B、行星的密度$ρ=\frac{M}{\frac{4π{r}^{3}}{3}}$，因为质量之比为32：1，半径之比为2：1，则两行星的密度之比为4：1，故B错误．
C、根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mg$得，g=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，因为行星的质量之比为32；1，半径之比为2：1，则两行星表面的重力加速度之比为8：1，故C正确．
D、卫星的速率v=$\frac{2πr}{T}$，半径之比为2：1，周期之比为1：2，则速率之比为4：1，故D正确．
故选：CD．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力，并能灵活运用．