Question

11．如图所示，ABCD为固定在竖直平面内的轨道，其中ABC为光滑半圆形轨道，半径为R，CD为水平粗糙轨道，一质量为m的小滑块（可视为质点）从圆轨道中点B由静止释放，滑至D点恰好静止，CD间距为5R．已知重力加速度为g．求：
（1）小滑块到达C点时对圆轨道压力N的大小；
（2）小滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ；
（3）现使小滑块在D点获得一初动能E_k，使它向左运动冲上圆轨道，恰好能通过最高点A，求小滑块在D点获得的初动能E_k．

Answer 1

分析 （1）B到C过程机械能守恒，由此求得在C的速度，即可由牛顿第二定律求得支持力，最后由牛顿第三定律求得压力；
（2）对B到D过程应用动能定理即可求得动摩擦因数；
（3）通过牛顿第二定律求得在A的速度，然后应用动能定理即可求得初始动能．

解答 解：（1）小滑块在光滑半圆轨道上运动只有重力做功，故机械能守恒；
设小滑块到达C点时的速度为v_C，根据机械能守恒定律得：$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}$；
设小滑块到达C点时圆轨道对它的支持力为F_N，根据牛顿第二定律得：${F}_{N}-mg=\frac{m{{v}_{c}}^{2}}{R}=2mg$；
所以，根据牛顿第三定律，小滑块到达C点时，对圆轨道压力的大小N=F_N=3mg；
（2）小滑块从B到D的过程中只有重力、摩擦力做功，根据动能定理得：mgR-5μmgR=0，所以，μ=0.2；
（3）根据题意，小滑块恰好能通过圆轨道的最高点A，设小滑块到达A点时的速度为v_A，此时重力提供向心力，根据牛顿第二定律得：$mg=\frac{m{{v}_{A}}^{2}}{R}$；
小滑块从D到A的过程中只有重力、摩擦力做功，根据动能定理得：$-5μmgR-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-{E}_{k}$；
所以，${E}_{k}=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+2mgR+5μmgR=\frac{7}{2}mgR$；
答：（1）小滑块到达C点时对圆轨道压力N的大小为3mg；
（2）小滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ为0.2；
（3）现使小滑块在D点获得一初动能E_k，使它向左运动冲上圆轨道，恰好能通过最高点A，则小滑块在D点获得的初动能E_k为$\frac{7}{2}mgR$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．