Question

2．如图所示，两块很大的平行带电导体板MN、PQ产生竖直向上的匀强电场，在两导体板之间存在有理想边界的匀强磁场，匀强磁场分为I、Ⅱ两个区域，磁感应强度大小均为B，方向如图所示，ST为两磁场的边界，I区域高度为d₁，Ⅱ区域的高度足够大．一个质量为m、电量为q的带正电的小球从MN板上的小孔O以一定的速度垂直射入复合场，小球恰能做匀速圆周运动并恰能回到O孔，带电小球在运动中不会与板相碰，不考虑磁场和电场之间的相互影响，重力加速度为g，求：
（1）匀强电场的电场强度E；
（2）小球的速度大小及在复合场中运动的时间．

Answer 1

分析 （1）根据小球所受电场力的方向与场强方向的关系判断小球电性，根据电场力与重力的关系求出电场强度大小．
（2）小球在磁场中做匀速圆周运动，作出小球的运动轨迹，由几何知识求出轨道半径，应用牛顿第二定律分析答题．

解答 解：（1）小球进入电磁场后恰好能做匀速圆周运动，则重力与电场力合力为零，洛伦兹力提供向心力，
重力竖直向下，则电场力竖直向上，电场强度向上，电场力方向与场强方向相同，则小球带正电；
电场力与重力相等，则有：qE=mg…①，
则电场强度：E=$\frac{mg}{q}$…②
（2）小球在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…③
由于小球在Ⅰ、Ⅱ两个区域运动过程中q、v、B、m的大小不变，则三段圆弧的半径相等，
以三个圆心为顶点的三角形为等边三角形，边长为2R，内角为60度，如图所示，
由几何知识可得：R=$\frac{{d}_{1}}{sin60°}$…④，
所以：v=$\frac{2\sqrt{3}Bq{d}_{1}}{3m}$
粒子在磁场中运动周期：T=$\frac{2πR}{v}$…⑤
小球运动过程中转过的角度：θ_总=$\frac{π}{3}+\frac{5π}{3}+\frac{π}{3}=\frac{7π}{3}$…⑥；
又：$\frac{t}{T}=\frac{{θ}_{总}}{2π}$…⑦
联立得：t=$\frac{7πm}{3qB}$
答：（1）匀强电场的电场强度是$\frac{mg}{q}$；
（2）小球的速度大小是$\frac{2\sqrt{3}Bq{d}_{1}}{3m}$，在复合场中运动的时间是$\frac{7πm}{3qB}$．

点评 本题考查了带电小球在磁场中的运动，分析清楚小球的运动过程，作出小球的运动轨迹、应用牛顿第二定律等公式即可正确解题；分析清楚运动过程、作出小球运动轨迹是正确解题的关键．