Question

13．如图所示，倾角θ=37°的斜面底端B平滑连接着半径r=0.60m的竖起光滑圆轨道．质量m=0.50kg的物块，从距地面h=2.7m处沿斜面由静止开始下滑，物块与斜面间的动摩擦因数μ=0.25．（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，取g=10m/s²）求：
（1）物块滑到斜面底端B时的速度大小．
（2）物块运动到圆轨道的最高点A时，对圆轨道的压力大小．
（3）欲使小球刚好滑到圆轨道最高点，物块应从斜面多高处静止释放．

Answer 1

分析 （1）对物块从静止滑动B的过程应用动能定理即可求解；
（2）由物块在圆轨道上运动机械能守恒求得速度，再在最高点应用牛顿第二定律即可求得支持力，最后由牛顿第三定律求得压力；
（3）根据牛顿第二定律求得在A处的速度，然后对整个过程应用动能定理即可求解．

解答 解：（1）物块沿斜面下滑到B的过程中，在重力、支持力和摩擦力作用下做匀加速运动，设下滑到斜面底端B时的速度为v，则由动能定理可得：$mgh-μmgcosθ•\frac{h}{sinθ}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-0$，
所以，${v}_{B}=\sqrt{2（gh-μghcotθ）}=6m/s$；
（2）设物块运动到圆轨道的最高点A时的速度为v_A，在A点受到圆轨道的压力为F_N．
物块沿圆轨道上滑到A点的过程只有重力做功，故机械能守恒，则有：$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+2mgr=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$；
那么由牛顿第二定律可得：物块在A点受到圆轨道对物块向下的作用力${F}_{N}=\frac{m{{v}_{A}}^{2}}{r}-mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}-4mgr}{r}-mg$=$\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{r}-5mg=5N$；
那么由牛顿第三定律可知，物块运动到圆轨道的最高点A时对圆轨道的压力大小N=F_N=5N；
（3）欲使小球刚好滑到圆轨道最高点，则在最高点应用牛顿第二定律可得：$mg=\frac{m{v}_{A}{′}^{2}}{r}$；
那么，设物块从斜面高H处静止释放，则对物块运动到A点的过程应用动能定理可得：$mg（H-2r）-μmgcosθ•\frac{H}{sinθ}=\frac{1}{2}m{v}_{A}{′}^{2}$=$\frac{1}{2}mgr$；
所以，$H=\frac{\frac{5}{2}r}{1-μcotθ}=2.25m$；
答：（1）物块滑到斜面底端B时的速度大小为6m/s；
（2）物块运动到圆轨道的最高点A时，对圆轨道的压力大小为5N．
（3）欲使小球刚好滑到圆轨道最高点，物块应从斜面2.25m高处静止释放．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．