Question

14．如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段倾角为45°斜的直轨道和与之相切的半圆形轨道连接而成，切点为A，圆形轨道的半径为R．一质量为m的小物块从斜轨道上高H处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．求：
（1）物块滑到斜面底端对圆轨道A点的压力；
（2）若要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）．求H的取值范围；
（3）若H=4R，求物块从圆轨道顶端飞出，砸在斜面上的高度h．

Answer 1

分析 解：（1）设物块在圆形轨道最高点的速度为v₁，根据动能定理求出速度，在A点根据合外力提供向心力结合牛顿第三定律求解物块对A点的压力；
（2）滑块能通过圆形轨道最高点的临界条件是重力提供向心力，根据向心力公式及动能定理联立方程即可求解；
（3）若H=4R，根据动能定理求出飞出时的速度，再根据平抛运动基本公式求解．

解答 解：（1）设物块在圆形轨道最高点的速度为v₁：mgH=$\frac{1}{2}$mv₁²
在A点  N-mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
解得：N=$mg\frac{R+2H}{R}$
由牛顿第三定律得物块对A点的压力为$mg\frac{R+2H}{R}$
（2）设物块在圆形轨道最高点的速度为v₂：mgH-2mgR=$\frac{1}{2}$mv₂²…①
物块在最高点：mg+N=m$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$…②
物块能通过最高点的条件是N≥0…③
由②③式得：v₂≥$\sqrt{gR}$代入①得h≥$\frac{5}{2}$R
按题目要求，N≤5 mg…④代入①得H≤5R   
h的取值范围是：$\frac{5}{2}$R≤H≤5R
（3）由①式可知：v₂=2$\sqrt{gR}$
由平抛运动可知   2R-h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平位移 x=v₂t
$tanθ\frac{h}{x}$
解得：h=4R（$\sqrt{2}-1$）
答：（1）物块滑到斜面底端对圆轨道A点的压力为$mg\frac{R+2H}{R}$；
（2）若要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度），H的取值范围为：$\frac{5}{2}$R≤H≤5R；
（3）若H=4R，求物块从圆轨道顶端飞出，砸在斜面上的高度h为4R（$\sqrt{2}-1$）．

点评 本题关键把物体的各个运动过程的受力情况和运动情况分析清楚，然后结合动能定理、牛顿第二定律和运动学公式求解．