Question

13．如图所示，质量分布均匀的长方体木板放置在水平面上，M、N分别是木板的左、右两个端点，水平面的A、C之间粗糙，与木板的动摩擦因数处处相等，水平面其余部分光滑，AC的距离等于木板的长度，B为AC的中点．某时刻开始处于光滑水平面的木板具有水平向右的初速度v₀，当M端运动到C点时速度刚好为0，则（　　）

• A． 木板N端运动到B点时速度为$\frac{3{v}_{0}}{4}$
• B． 木板N端运动到C点时速度为$\frac{{v}_{0}}{2}$
• C． 木板N端从A到B摩擦力做的功等于木板N端从B到C摩擦力做的功
• D． 木板N端从A到C摩擦力做的功等于木板M端从A到C摩擦力做的功

Answer 1

分析 将木板分为n等分（n足够大），故从开始到M端运动到C点过程，每个部分克服摩擦力做功均为$μ\frac{m}{n}gL$，然后对全程和各个分过程运用动能定理列式分析即可．

解答 解：将木板分为n等分（n足够大），每个部分的质量为$\frac{m}{n}$；
从开始到M端运动到C点过程，每个部分克服摩擦力做功均为$μ\frac{m}{n}gL$，根据动能定理，有：
n（-$μ\frac{m}{n}gL$）=0-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$ ①
A、从开始到木板N端运动到B点过程，有：
$\frac{n}{2}$（-$μ\frac{m}{n}g\frac{L}{2}$）×$\frac{1}{2}$=0-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$ ②
联立①②解得：
v₁=$\frac{\sqrt{2}}{4}{v}_{0}$
故A错误；
B、从开始到木板N端运动到C点过程，有：
n（-$μ\frac{m}{n}gL$）×$\frac{1}{2}$=0-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$ ②
联立①②解得：
v₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}$
故B错误；
C、木板N端从A到B过程摩擦力做功：W₁=$\frac{n}{2}$（-$μ\frac{m}{n}g\frac{L}{2}$）×$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{8}μmgL$
木板N端从B到C过程摩擦力做功：W₂=n（-$μ\frac{m}{n}gL$）×$\frac{1}{2}$-（-$\frac{1}{8}μmgL$）=-$\frac{3}{8}μmgL$；两过程中摩擦力做功不相等；
故C错误；
D、木板N端从A到C摩擦力做的功：W₃=n（-$μ\frac{m}{n}gL$）×$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}μmgL$
木板M端从A到C摩擦力做的功：W₄=n（-$μ\frac{m}{n}gL$）×$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}μmgL$；二力做功相等；
故D正确；
故选：D．

点评 本题考查动能定理的应用，要注意对整体采用微元法进行分析，明确各部分每一部分受摩擦力所做的功，再由动能定理列式求解．