Question

6．如图甲，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ=30°角固定，M、P之间接电阻箱R，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B=0.5T．质量为m的金属杆a b水平放置在轨道上，其接入电路的电阻值为r．现从静止释放杆a b，测得最大速度为v_m．改变电阻箱的阻值R，得到v_m与R的关系如图乙所示．已知轨距为L=2m，重力加速度g取l0m/s²，轨道足够长且电阻不计．求：

（1）杆a b下滑过程中感应电流的方向及R=0时最大感应电动势E的大小；
（2）金属杆的质量m和阻值r；
（3）当R=4Ω时，求回路瞬时电功率每增加1W的过程中合外力对杆做的功W．

Answer 1

分析 （1）ab杆匀速下滑时速度最大，当R=0时，由乙图读出最大速度，由E=BLv求出感应电动势，由右手定则判断感应电流的方向；
（2）根据E=BLv、$I=\frac{E}{R+r}$及平衡条件，推导出杆的最大速度v与R的表达式，结合图象的意义，求解杆的质量m和阻值r；
（3）当R=4Ω时，读出最大速度．由E=BLv和功率公式$P=\frac{{E}^{2}}{R+r}$得到回路中瞬时电功率的变化量，再根据动能定理求解合外力对杆做的功W．

解答 解：（1）由右手定则判断得知，杆中电流方向从b→a；
由图可知，当R=0 时，杆最终以v=2m/s匀速运动，产生电动势 E=BLv=0.5×2×2V=2V 
（2）设最大速度为v，杆切割磁感线产生的感应电动势 E=BLv，
由闭合电路的欧姆定律：$I=\frac{E}{R+r}$，杆达到最大速度时满足 mgsinθ-BIL=0，
解得v=$\frac{mgsinθ}{{{B^2}{L^2}}}R+\frac{mgsinθ}{{{B^2}{L^2}}}r$．
由图象可知：斜率为$k=\frac{4-2}{2}m/（s•Ω）=1m/（s•Ω）$，纵截距为v₀=2m/s，
得到：$\frac{mgsinθ}{{{B^2}{L^2}}}r$=v₀，$\frac{mgsinθ}{{{B^2}{L^2}}}$=k  
解得：m=0.2kg，r=2Ω．
（3）由题意：E=BLv，$P=\frac{E^2}{R+r}$
得  $P=\frac{{{B^2}{L^2}{v^2}}}{R+r}$，则$△P=\frac{{{B^2}{L^2}v_2^2}}{R+r}-\frac{{{B^2}{L^2}v_1^2}}{R+r}$
由动能定理得W=$\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$，
联立解得：$W=\frac{{m（{R+r}）}}{{2{B^2}{L^2}}}△P$，
W=0.6J．
答：（1）电流方向从b→a；当R=0时，杆a b匀速下滑过程中产生感生电动势E的大小是2V；
（2）金属杆的质量m是0.2kg，阻值r是2Ω；
（3）当R=4Ω时，回路瞬时电功率每增加1W的过程中合外力对杆做的功W是0.6J．

点评 电磁感应问题经常与电路、受力分析、功能关系等知识相结合，是高中知识的重点，该题中难点是第三问，关键是根据物理规律写出两坐标物理量之间的函数关系．