Question

12．物体从无限长的斜面底端以初动能E₀开始沿斜面向上滑行，从开始滑行到动能减小$\frac{3}{4}$E₀的过程中重力势能增加$\frac{1}{2}$E₀，已知地面处为参考平面位置，且斜面材料相同，求：
①物体沿斜面运动到最高点时的重力势能？
②回到斜面底端时的动能．

Answer 1

分析 运用动能定理列出动能的变化和总功的等式，运用除了重力之外的力所做的功量度机械能的变化关系列出等式，两者结合去解决问题．

解答 解：设物体的初始点为A，上滑最高点为B，动能减小$\frac{3}{4}$E₀的点为M
到达M点损失机械能为：W_fAM=$\frac{3}{4}{E}_{0}-\frac{1}{2}{E}_{0}=\frac{1}{4}{E}_{0}$
由于上升过程和下落过程摩擦力做功相同，
从A到M，M点动能为：E_KM=$\frac{1}{4}$E₀，A点动能为：E_KA=E₀，
根据${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$可得：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{M}}=\sqrt{\frac{{E}_{KA}}{{E}_{KM}}}=\frac{2}{1}$
设M点速度为v，上升过程加速度为a，
从A到M，（2v）²-v²=2as₁   
从M到B，0-v²=2aS₂      
可得：$\frac{{s}_{1}}{{s}_{2}}=3$ 
 $\frac{{W}_{fAM}}{{W}_{fMB}}=\frac{f{s}_{1}}{f{s}_{2}}=\frac{3}{1}$  
故从M点到B点损失机械能为：W_fMB=$\frac{1}{12}{E}_{0}$
上滑故损失总机械能为：△E=$\frac{1}{4}{E}_{0}+\frac{1}{12}{E}_{0}=\frac{1}{3}{E}_{0}$
故到达最高点的势能为：${E}_{P}={E}_{0}-\frac{1}{3}{E}_{0}=\frac{2}{3}{E}_{0}$
下滑摩擦力做功与上滑摩擦力做功相同，故下滑到底端的动能为：
${E}_{k}={E}_{0}-\frac{2}{3}{E}_{0}=\frac{1}{3}{E}_{0}$
答：①物体沿斜面运动到最高点时的重力势能$\frac{2}{3}{E}_{0}$
②回到斜面底端时的动能$\frac{1}{3}{E}_{0}$．

点评 解题的关键在于能够熟悉各种形式的能量转化通过什么力做功来量度，并能加以运用列出等式关系．