Question

3．如图，质量为m₀的小球随着质量同为m₀的甲小车一起以速度v₀向右做匀速运动，小球静止在甲小车内半径为r的圆弧形槽的最低点．运动中，甲车与另一辆质量同为m₀的乙小车发生完全非弹性碰撞．不计一切摩擦．求：
（1）甲车与乙车相碰后，两车的共同速度是多少？
（2）小球能上升的最大高度h是多少？
（3）小球从最高点回到小车圆弧槽底部时，对小车的压力N是多少？

Answer 1

分析 （1）两车碰撞过程系统动量守恒，由动量守恒定律可以求出两车的速度．
（2）系统水平方向动量守恒，应用动量守恒定律与机械能守恒定律求出小球上升的最大高度．
（3）系统水平方向动量守恒，应用动量守恒定律与机械能守恒定律求出小球到达最低点时的速度，然后应用牛顿第二定律求出车对球的支持力，然后求出压力．

解答 解：（1）甲车与乙小车发生完全非弹性碰撞，则碰撞后它们的速度相等，碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
m₀v₀=2m₀v，
解得：v=$\frac{1}{2}$v₀；
（2）小球与两车组成的系统在水平方向动量守恒，小球达到最高点时它们的速度相等，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
m₀v₀+2m₀v=3m₀v′，
解得：v′=$\frac{2}{3}$v₀，
系统机械能守恒，由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$m₀v₀²+$\frac{1}{2}$•2m₀v²=$\frac{1}{2}$•3m₀v′²+m₀gh，
解得：h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{12g}$；
（3）小球到达最低点过程系统水平方向动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
3m₀v′=2m₀v_车-m₀v_球，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$•3m₀v′²+m₀gh=$\frac{1}{2}$•2m₀v_车²+$\frac{1}{2}$m₀v_球²，
解得：v_球=-$\frac{1}{6}$v₀，v_车=$\frac{5}{6}$v₀，
对球，在最低点，由牛顿第二定律得：N′-m₀g=m₀$\frac{{v}_{球}^{2}}{r}$
解得：N′=m₀g+$\frac{{v}_{0}^{2}}{36r}$，
由牛顿第三定律可知，球对车的压力：N=N′=m₀g+$\frac{{v}_{0}^{2}}{36r}$，方向竖直向下；
答：（1）甲车与乙车相碰后，两车的共同速度是$\frac{1}{2}$v₀；
（2）小球能上升的最大高度h是$\frac{{v}_{0}^{2}}{12g}$；
（3）小球从最高点回到小车圆弧槽底部时，对小车的压力N大小为：m₀g+$\frac{{v}_{0}^{2}}{36r}$，方向：竖直向下．

点评 本题考查了动量守恒定律的应用，分析清楚物体运动过程是正确解题的关键，应用动量守恒定律与机械能守恒定律、牛顿定律即可解题，解题时要注意，两车与球组成的系统整体动量不守恒，但水平方向系统动量守恒．