Question

10．如图所示，斜面倾角为θ，一轻质弹簧平行于斜面放置，弹簧一端固定于斜面底部，自然伸长时，另一端位于斜面的O点，O点上方斜面粗糙，下方斜面光滑．质量为m的物体（可视为质点）从P点由静止释放沿斜面滑下，压缩弹簧后被弹回，上滑至OP中点时速度为零．已知该过程中OP两点间距离为x，当弹簧的压缩量为$\frac{1}{6}$x时，物体的速度达到最大，此时弹簧具有的弹性势能为E_p．
（1）求弹簧的劲度系数k；
（2）物体从接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，其加速度大小和速度大小如何变化？（只定性说明）
（3）此过程中，物体具有的最大动能E_km是多少？

Answer 1

分析 （1）当物体的速度最大时合力为零，由平衡条件和胡克定律结合求弹簧的劲度系数k．
（2）通过分析弹簧的弹力如何变化，由牛顿第二定律分析加速度的变化，判断速度的变化．
（3）从P点释放到反弹至OP中点，运用动能定理列式．从P点释放到速度最大，运用动能定理列式，联立可求得最大动能E_km．

解答 解：（1）当物体的速度最大时合力为零，由平衡条件和胡克定律得：
  mgsinθ=k$\frac{1}{6}$x
解得 k=$\frac{6mgsinθ}{x}$
（2）物体从接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，弹簧的弹力逐渐增大，弹力先大于重力沿斜面向下的分力，后小于重力沿斜面向下的分力，则合力先减小后增大，由牛顿第二定律知，加速度先减小，后增大．速度先增大，后减小．
（3）从P点释放到反弹至OP中点，由动能定理得
 mg$\frac{1}{2}x$sinθ-μmg$\frac{3}{2}$xcosθ=0　①
从P点释放到速度最大，由动能定理得
  mg（x+$\frac{x}{6}$）sinθ-μmgxcosθ-E_p=E_km　②
由①②两式可以求得最大动能为 E_km=$\frac{5}{6}$mgxsinθ-E_p．
答：
（1）弹簧的劲度系数k是$\frac{6mgsinθ}{x}$；
（2）物体从接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，其加速度先减小，后增大．速度先增大，后减小．
（3）此过程中，物体具有的最大动能E_km是$\frac{5}{6}$mgxsinθ-E_p．

点评 本题的关键要正确分析物体的受力情况，判断物体的运动情况，抓住各个状态和过程的物理规律．对于动能定理，要灵活选取研究的过程进行列式．