Question

如图，空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向为y轴正方向，磁场方向垂直于xy平面（纸面）向外，电场和磁场都可以随意加上或撤除，重新加上的电场或磁场与    撤除前的一样．一带正电荷的粒子从P（x=0，y=h）点以一定的速度平行于x轴正向入射．这时若只有磁场，粒子将做半径为R₀的圆周运动：若同时存在电场和磁场，粒子恰好做直线运动．现在，只加电场，当粒子从P点运动到x=R₀平面（图中虚线所示）时，立即撤除电场同时加上磁场，粒子继续运动，其轨迹与x轴交于M点．不计重力．求：
（1）粒子到达x=R₀平面时速度方向与x轴的夹角以及粒子到x轴的距离；
（2）M点的横坐标x_M．

Answer 1

分析：（1）做直线运动时电场力等于洛伦兹力，做圆周运动洛伦兹力提供向心力，只有电场时，粒子做类平抛运动，联立方程组即可求解；
（2）撤电场加上磁场后做圆周运动洛伦兹力提供向心力，求得R，再根据几何关系即可求解．

解答：解：（1）做直线运动有：qE=qBv₀
做圆周运动有：qBv0=m

v 2 0

R0

只有电场时，粒子做类平抛，有：qE=ma
R₀=v₀t
v_y=at
解得：v_y=v₀
粒子速度大小为：v=

v 2 0 + v 2 y

=

2

v0
速度方向与x轴夹角为：θ=

π

4

粒子与x轴的距离为：H=h+

1

2

at2=h+

R0

2

（2）撤电场加上磁场后，有：qBv=m

v2

R

解得：R=

2

R0
粒子运动轨迹如图所示，圆心C位于与速度v方向垂直的直线上，该直线与x轴和y轴的夹角均为

π

4

，有几何关系得
C点坐标为：x_C=2R₀
yC=H-R0=h-

R0

2

过C作x轴的垂线，在△CDM中：

.

CM

=R=

2

R0

.

CD

=yC=h-

R0

2

解得：

.

DM

=

. CM 2- . CD 2

=

7 4 R 2 0 +R0h-h2

M点横坐标为：xM=2R0+

7 4 R 2 0 +R0h-h2

答：（1）粒子到达x=R₀平面时速度方向与x轴的夹角为

π

4

，粒子到x轴的距离为h+

R0

2

；
（2）M点的横坐标x_M为2R0+

7 4 R 2 0 +R0h-h2

．

点评：该题是带电粒子在混合场中运动的问题，要求同学们理解仅有电场时，粒子做类平抛运动，只有磁场时做匀速圆周运动，再根据圆周运动和平抛运动的基本公式及几何关系解题，本题难度较大．