Question

13．如图所示，金属框架与水平面成30°角，匀强磁场的磁感强度B=0.4T，方向垂直框架平面向上，金属棒长l=0.5m，重量为0.1N，可以在框架上无摩擦地滑动，棒与框架的总电阻为2Ω，运动时可认为不变，导体棒刚开始距离地面2m，问：
（1）要棒以2m/s的速度沿斜面向上滑行，应在棒上加多大沿框架平面方向的外力？
（2）当棒运动到某位置时，外力突然消失，棒将如何运动？
（3）若棒滑到地面前，棒能达到最大速度，求最大速度为多少以及此时电路的电功率多大？
（4）求导体棒在距离地面2m高处撤去外力F后回到地面时整个回路所产生的焦耳热？

Answer 1

分析 （1）分析棒的受力情况，作出受力图，根据平衡条件、感应电动势公式E=BLv₀、欧姆定律和安培力公式结合，即可求得外力的大小．
（2）撤去外力后，金属棒先减速到零，后又反向加速，直至再次达到平衡时匀速运动．
（3）棒匀速运动时，受力平衡，推导出安培力与速度的关系式，再由平衡条件求出最大速度，电路的电功率等于安培力的功率．
（4）根据动能定理求安培力做功，根据克服安培力做功等于电路中产生的电热．

解答 解：（1）金属棒受力如图所示，则有：
F-F_安-mgsin30°=0
其中F_安=BIl
I=$\frac{E}{R}$
又E=Blv₀
则得：F_安=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{R}$
联立并代入数据得：F_安=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{R}$+mgsin30°=$\frac{0．{4}^{2}×0．{5}^{2}×2}{2}$+0.1×0.5=0.09N
（2）撤去外力后，金属棒先减速到零，后又反向加速，直至再次达到平衡时匀速运动．
（3）平衡时受力如图所示，则有：mgsin30°-F_安=0
又F_安=BIl=B$\frac{Blv}{R}$l
联立以上各式解得：v=$\frac{mgRsin30°}{{B}^{2}{l}^{2}}$=$\frac{0.1×2×\frac{1}{2}}{0．{4}^{2}×0．{5}^{2}}$m/s=2.5m/s
电路的电功率为：P=Fv=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}^{2}}{R}$=$\frac{0．{4}^{2}×0．{5}^{2}×2．{5}^{2}}{2}$=0.125W
（4）以导体棒为研究对象，从导体棒在距离地面2m高处撤去外力F后回到地面时对其应用动能定理：
W_G-W_安=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{max}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv²
带入数据解得：W_安=-0.1875J            
由于此过程安培力一直做负功，将部分重力势能转化为电能，
所以  Q=W _安=0.1875J
答：（1）要棒以v₀=2m/s的速度沿斜面向上滑行，应在棒上加0.09N沿框架平面方向与导轨平行的外力．
（2）撤去外力后，金属棒先减速到零，后又反向加速，直至再次达到平衡时匀速运动．
（3）棒匀速运动时的速度为2.5m/s，达最大速度时，电路的电功率为0.125W
（4）整个回路所产生的焦耳热为0.1875J．

点评 该题是电磁感应的综合应用，涉及到受力平衡、法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律以及能量的转化与守恒，综合性相对较强，关键要正确分析棒的受力情况，判断其运动情况，熟练推导出安培力与速度的关系式．