Question

2．一长为l的薄壁试管处于空气中，现将试管开口向下插入水中，平衡时试管内外水面高度差为h，如图所示，今用竖直向下的力缓慢地将试管保持倒立压入水中，已知外界大气压强为p₀，水的密度为ρ，水足够深，且水温处处相同，当试管中气体下端与睡眠的距离超过某一值，试管将不再需要下压的力而自动下沉，求这个值．

Answer 1

分析 根据平衡时试管内外水面高度差为h，对试管受力分析求得重力和压强与高度的关系，当再次平衡时根据重力和压强与高度的关系，求得第二次的气体高度，利用气体做等温变化求解不再需要下压的力而自动下沉的数值．

解答 解：开始时，设横截面积为s，对试管受力分析得：mg+p₀s=（p₀+ρgh）s①，
解得：mg=ρghs②，
根据①式可知，试管不需要下压的力而自动下沉，试管应完全进入水中，则由：mg=ρgh′s③，h′s即是此时空气柱的体积也是排开水的体积，
设此时气体下端与水面的距离为x，
对气体，p₁=p₀，v₁=Ls，p₂=p₀+ρgx，v₂=h′s，
由波意耳定律得：p₁v₁=p₂v₂，即p₀Ls=（p₀+ρgx）h′s④
联立②③④式，解得：$x=\frac{{p}_{0}（L-h）}{ρgh}$；
答：试管将不再需要下压的力而自动下沉，数值为$\frac{{p}_{0}（L-h）}{ρgh}$．

点评 本题实质考查了求气体高度，根据题意确定气体的初末状态，求出气体的初末状态参量，应用气体状态方程即可正确解题，关键是前后两次的平衡状态的求解．