Question

10．如图甲所示，A、C两平行金属板长度和间距相等，两板间所加电压随时间变化图线如图乙所示，图中的U₀、T均已知．磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里，其左右边界与电场中线OO、垂直．质量为m、电量为q带正电的粒子连续不断地以相同的初速度沿两板间的中线OO、射入电场，并从磁场左边界MN射出．已知t=0时刻进入板间的粒子经$\frac{T}{2}$恰好从极板边缘进入磁场．不考虑粒子的重力和粒子间相互作用力．求：

（1）粒子在磁场中运动的最短时间；
（2）磁场区域左右边界间的最小距离；
（3）从O、点进入磁场的粒子速度大小．

Answer 1

分析 此题是一题交变电场与磁场的综合题，由于交变电场的对称性，所以不同时刻进入电场的粒子在竖直方向先加速后减速再加速，运动轨迹若在正负电场中的时间相等，则具有对称性．
（1）由题意知：t=0时刻进入板间的粒子经$\frac{T}{2}$恰好从极板边缘进入磁场，由粒子做类平抛运动的水平位移和竖直位移可以求出板距和速度（包括速度方向），这为后面计算做好铺垫．显然$t=nT+\frac{T}{2}$（n=0，1，2，3…）时刻进入电场的粒子从上边缘射出时偏转角最小，时间最短．
（2）若从下边缘进入磁场的粒子恰恰能在磁场中做完整的匀速圆周运动，其轨迹与右边界相切，则此时磁场宽度最小，由几何关系很容易求出．
（3）若从O′点射出电场的粒子沿侧向加速时间为t，则其沿侧向返回加速时间为$\frac{T}{2}-2t$，那么两段对称的位移与反向类平抛的位移相等且通过O′点，列出相应的方程解出加速时间t，则通过O′点的水平速度和竖直速度均可求出，从而求出合速度．

解答 解：设板长和板距为L，粒子的初速度为v₀，据题意，t=0时刻进入电场的粒子：
  水平方向：$L={v}_{0}×\frac{T}{2}$
  竖直方向：$\frac{L}{2}=\frac{1}{2}×\frac{{U}_{0}q}{Lm}（\frac{T}{2}）^{2}$
  联立以上两式解得：$L=\frac{T}{2}\sqrt{\frac{q{U}_{0}}{m}}$，${v}_{0}=\sqrt{\frac{q{U}_{0}}{m}}$
（1）$t=nT+\frac{T}{2}$（n=0，1，2，3…）时进入电场力的粒子，从极板上边界进入磁场，进入
  磁场时速度与磁场左边界夹角最小，在磁场中做圆周运动圆心角最小，在磁场中运动时间最短
  设粒子的初速度为v₀，则
  水平方向速度L=v₀$\frac{T}{2}$
  竖直方向速度$\frac{L}{2}=\frac{{v}_{y}}{2}×\frac{T}{2}$
  得：v_y=v₀，则粒子以大小为$\sqrt{2}{v}_{0}$，与磁场边界成45°斜向上射入磁场粒子
  在磁场中做圆周运动时间${t}_{min}=\frac{T}{4}=\frac{πm}{2qB}$
（2）t=nT （n=0，1，2，3…）时进入电场的粒子，从下极板边缘以$\sqrt{2}{v}_{0}$速度，与磁场边界
  成45°斜向下射入磁场，在磁场中运动过程中离左边界最远
  根据牛顿第二定律$qB\sqrt{2}{v}_{0}=\frac{m（\sqrt{2}{v}_{0}）^{2}}{R}$ 
  最小磁场宽度d_min=R+Rcos45°  
  联立解得：${d}_{m}=\frac{（\sqrt{2}+1）\sqrt{mq{U}_{0}}}{qB}$     
（3）设从O′点射出电场的粒子沿侧向加速时间为t，其沿侧向返回加速时间为$\frac{T}{2}-2t$，轨迹如图所示，则
   $2×\frac{1}{2}×\frac{{U}_{0}q}{mL}{t}^{2}-\frac{1}{2}×\frac{{U}_{0}q}{mL}（\frac{T}{2}-2t）^{2}=0$
   到达O′点时侧向速度$v{′}_{y}=\frac{{U}_{0}q}{mL}（\frac{T}{2}-2t）$
   到达O′点时速度大小$v=\sqrt{v{{′}_{x}}^{2}+v{{′}_{y}}^{2}}$
   联立上述各式解得$v=\sqrt{\frac{{U}_{0}q}{m}（4-2\sqrt{2}）}$
答：（1）粒子在磁场中运动的最短时间$\frac{πm}{2qB}$．
（2）磁场区域左右边界间的最小距离$\frac{（\sqrt{2}+1）\sqrt{mq{U}_{0}}}{qB}$．
（3）从O′点进入磁场的粒子速度大小$\sqrt{\frac{{U}_{0}q}{m}（4-2\sqrt{2}）}$．

点评 本题的难点在于每三问：通过O′点粒子的速度--这完全属于带电粒子在电场中运动问题，首先要找到什么时刻开始加速的粒子恰好先做时间为t的向下类平抛运动，再经过相同时间的斜抛运动速度变为水平最后再通过（$\frac{T}{2}-t$）反向类平抛运动，最后通过O′点，列出位移方程，先求出加速时间t，再求通过O′的合速度．