Question

13．假设是半径为R的质量均匀分布的球体，地球绕太阳可看成做匀速圆周运动，其轨道半径为r．不考虑空气的影响，万有引力常量为G．
（1）若测得地球绕太阳公转的周期为T，求太阳的质量；
（2）用弹簧秤称一个小物体的重：在地球北极地面测量时，弹簧秤的读数是F₀；在北极上空高出地面h处测量时，弹簧秤读数为F₁；求比值$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$的表达式．

Answer 1

分析 （1）研究行星绕太阳运动作匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求出中心体的质量；
（2）根据重力等于引力，列出两组方程，从而即可求解．

解答 解：（1）设太阳和地球的质量分别为M、m，地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
解得：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）设小物体质量为m′，在北极地面称量时，有：
$\frac{Gmm′}{{R}^{2}}=m′g={F}_{0}$
在北极上空高为h处，称量时，有：$\frac{Gmm′}{（R+h）^{2}}=m′g′={F}_{1}$；
解得：$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$=$\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$
答：（1）太阳的质量$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）比值$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$的表达式$\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$．

点评 向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用，同时理解弹簧秤的读数，即为引力的大小．