Question

7．如图所示，在平面直角坐标系xOy内，第Ⅰ象限的半径R=h的圆形区域内存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，圆与x、y坐标轴切于D、A两点，y＜0的区域内存在着沿y轴正方向的匀强电场．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从电场中Q（-2h，-h）点以速度v₀水平向右射出，从坐标原点O射入第Ⅰ象限，与水平方向夹角为α，经磁场能以垂直于x轴的方向从D点射入电场．不计粒子的重力，求：
（1）电场强度E的大小以及α的正切值；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）带电粒子从Q点运动到最终射出磁场的时间t（计算结果可用三角函数表示）

Answer 1

分析 （1）根据类平抛运动位移求解电场强度，由匀变速运动规律求得正切值；
（2）由（1）求得在磁场中运动的速度，然后根据几何关系求得半径，即可由洛伦兹力做向心力求得磁感应强度；
（3）根据物体的运动求得匀变速运动的运动时间，由几何关系求得在磁场中转过的中心角即可求解总的运动时间．

解答 解：（1）粒子在匀强电场中只受电场力作用，做类平抛运动，由类平抛运动规律及牛顿运动定律得：2h=v₀t，$h=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{qE}{2m}{t}^{2}=\frac{2qE{h}^{2}}{m{{v}_{0}}^{2}}$；
所以，$E=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qh}$；
故$a=\frac{qE}{m}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2h}$，所以，粒子在O点的竖直分速度${v}_{y}=at=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2h}•\frac{2h}{{v}_{0}}={v}_{0}$；$tanα=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=1$，α=45°；
（2）粒子进入磁场的速度$v={v}_{O}=\sqrt{{{v}_{y}}^{2}+{{v}_{0}}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}$；
又因为粒子垂直于x轴射出磁场，由几何关系可知粒子做圆周运动的轨道半径$r=Rtan\frac{45°}{2}=htan\frac{π}{8}$；
由粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力做向心力可得：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{r}$；
所以，磁感应强度$B=\frac{mv}{qr}=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qhtan\frac{π}{8}}$；
（3）带电粒子在电场中做类平抛运动的时间${t}_{1}=\frac{2h}{{v}_{0}}$；
从O点运动到磁场边界做匀速直线运动的速度为v，位移为$（\sqrt{2}-1）R=（\sqrt{2}-1）h$，故时间${t}_{2}=\frac{（\sqrt{2}-1）h}{\sqrt{2}{v}_{0}}=\frac{（2-\sqrt{2}）h}{2{v}_{0}}$；
粒子进入磁场到D的过程转过$π-\frac{π}{4}=\frac{3π}{4}$；之后粒子从D点射入电场后折返进入磁场，最后从磁场中射出，再次在磁场中转过的中心角也为$\frac{3π}{4}$；
那么粒子在磁场中运动的时间${t}_{3}=\frac{3}{4}T=\frac{3}{4}×\frac{2πr}{v}=\frac{3\sqrt{2}πhtan\frac{π}{8}}{4{v}_{0}}$；
在第四象限电场中运动时加速度和做类平抛运动时相同，故往复时间${t}_{4}=\frac{2v}{a}=\frac{4\sqrt{2}h}{{v}_{0}}$；
所以，带电粒子从Q点运动到最终射出磁场的时间$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}+{t}_{4}=（2+\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}πtan\frac{π}{8}}{4}+4\sqrt{2}）\frac{h}{{v}_{0}}$=$（3+\frac{7}{2}\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}πtan\frac{π}{8}}{4}）\frac{h}{{v}_{0}}$；
答：（1）电场强度E的大小为$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qh}$；α的正切值为1；
（2）磁感应强度B的大小为$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qhtan\frac{π}{8}}$；
（3）带电粒子从Q点运动到最终射出磁场的时间t为$（3+\frac{7}{2}\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}πtan\frac{π}{8}}{4}）\frac{h}{{v}_{0}}$．

点评 带电粒子的运动问题，加速电场一般由动能定理或匀加速运动规律求解；偏转电场由类平抛运动规律求解；磁场中的运动问题则根据圆周运动规律结合几何条件求解．