Question

2．某一行星的质量为地球的一半，它的半径也是地球的一半，行星和地球的卫星的环绕速度之比和周期之比是（　　）

• A． 1：1；2：1
• B． 1：2；1：4
• C． $\sqrt{2}$：1；$\sqrt{2}$：4
• D． 1：1；1：2

Answer 1

分析 卫星绕行星做匀速圆周运动，由行星的万有引力提供向心力，由此列式，得到卫星的环绕速度和周期的表达式，再相比即可．

解答 解：设任一行星的半径为R，质量为M．
对于卫星，根据万有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$
则知行星和地球的卫星的环绕速度之比 $\frac{{v}_{行}}{{v}_{地}}$=$\frac{\sqrt{\frac{G{M}_{行}}{{R}_{行}}}}{\sqrt{\frac{G{M}_{地}}{{R}_{地}}}}$=$\frac{1}{1}$
周期之比 $\frac{{T}_{行}}{{T}_{地}}$=$\frac{2π\sqrt{\frac{{R}_{行}^{3}}{G{M}_{行}}}}{2π\sqrt{\frac{{R}_{地}^{3}}{G{M}_{地}}}}$=$\frac{1}{2}$
故选：D

点评 本题首先要搞懂什么是环绕速度．求宇宙速度往往建立如下模型：卫星绕天体附近做匀速圆周运动，卫星所需要的向心力来源于天体对它的万有引力，建立方程，加上数学变换即可求解．