Question

12．2016年1月5日上午，国防科工局正式发布国际天文学联合会批准的嫦娥三号探测器着陆点周边区域命名为“广寒宫”，附近三个撞击坑分别命名为“紫微”、“天市”、“太微”．此次成功命名，是以中国元素命名的月球地理实体达到22个．已知地球半径为R，表面重力加速度为g，质量为m的嫦娥三号卫星在地球上空的万有引力势能为E_P=-$\frac{{mg{R^2}}}{r}$（以无穷远处引力势能为零），r表示物体到地心的距离．求：
（1）质量为m的嫦娥三号卫星以速率v在某一圆轨道上绕地球做匀速圆周运动，求此时卫星距地球地面高度h₁？
（2）要使嫦娥三号卫星上升，从离地高度h₁（此问可以认为h₁为已知量）再增加h的轨道上做匀速圆周运动，卫星发动机至少要做的功W为多少？

Answer 1

分析 （1）由万有引力提供向心力结合黄金代换可求的高度．
（2）由所给的引力势能的表达式写出两个状态下的势能，由万有引力提供向心力求出速度，确定出动能，由功能关系确定做功量．

解答 解：（1）设地球质量为M，万有引力恒量为G，卫星距地面高度h₁时速度为v
对卫星有：$G\frac{mM}{{{{（R+{h_1}）}^2}}}=m\frac{v^2}{{R+{h_1}}}$，
对地面上物体有：$mg=G\frac{mM}{R^2}$，
解以上两式得：${h_1}=\frac{{g{R^2}}}{v^2}-R$．
（2）卫星在距地面高度h₁的轨道做匀速圆周运动有：
$G\frac{mM}{{{{（R+{h_1}）}^2}}}=m\frac{v^2}{{R+{h_1}}}$，
此时卫星的动能为：${E_{k1}}=\frac{1}{2}m{v^2}=\frac{GMm}{{2（R+{h_1}）}}=\frac{{mg{R^2}}}{{2（R+{h_1}）}}$
万有引力势能为：${E_{p1}}=-\frac{{mg{R^2}}}{{R+{h_1}}}$，
则卫星在距地面高度h₁时的总机械能为：${E_1}={E_{k1}}+{E_{p1}}=\frac{{mg{R^2}}}{{2（R+{h_1}）}}-\frac{{mg{R^2}}}{{R+{h_1}}}=-\frac{{mg{R^2}}}{{2（R+{h_1}）}}$
同理，卫星在距地面高度h₁+h时的总机械能为：${E_2}=-\frac{{mg{R^2}}}{{2（R+{h_1}+h）}}$
由功能关系，卫星发动机至少要做功为：$W={E_2}-{E_1}=\frac{{mg{R^2}h}}{{2（R+{h_1}）（R+{h_1}+h）}}$
故答案为：（1）此时卫星距地球地面高度为$\frac{g{R}^{2}}{{v}^{2}}-R$．
（2）卫星发动机至少要做的功W为$\frac{mg{R}^{2}h}{2（R+{h}_{1}）（R+{h}_{1}+h）}$．

点评 （1）考查万有引力提供向心力所决定的速度，周期的表达式，结合黄金代换解题．（2）明确功能关系，准确写出各位置的能量是解题的关键．