Question

8．如图，一个质量为m=2.0kg的小球在轻质细绳牵引下，在光滑的水平面上以v₁=2.0m/s做匀速圆周运动，圆周半径为r₁=0.8m．现将水平面上牵引的细绳迅速放长d=0.2m，之后小球能在半径更大的轨道上做匀速圆周运动．求
（1）小球在两次圆周运动的过渡中经历的时间；
（2）细绳最终的拉力．

Answer 1

分析 放长绳子后，小球先做匀速直线运动，根据勾股定理列方程求小球的位移；小球在新轨道上做匀速圆周运动的线速度为原速度在垂直绳子方向上的分量，从而求出新轨道上的线速度，然后根据公式v=ωr求解角速度．

解答 解：
（1）依题意，放开绳子，小球沿切线方向做离心运动（如图），直至细绳再次张紧，之后小球做半径为r₂=r₁+d匀速圆周运动．这个过渡中，小球运动的距离为
x²+R²=（R+0.2）²
解得：x=0.6m
所需时间为：t=$\frac{x}{{v}_{1}}=\frac{0.6}{1}=0.3$s；
（2）细绳再次张紧时，小球速度的径向分量减为0，在新轨道上运动的速度大小为其切向分量，即

${v}_{2}={v}_{1}cosθ=\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}{v}_{1}=1.6$m/s
细绳拉力提供向心力，故：$F=\frac{m{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$
代入数据解得F=5.12N
答：（1）小球在两次圆周运动的过渡中经历的时间是0.3s；
（2）细绳最终的拉力是5.12N．

点评 小球先做匀速直线运动；小球在新轨道上做匀速圆周运动的线速度为v₂为原速度在垂直于绳子方向上的分量，画出图后不难求解．