Question

（2013?南昌二模）如图所示，在光滑水平面上，质量为m的小球B连接着一个轻质弹簧，弹簧与小球  均处于静止状态．质量为2m的小球A以大小为v₀的水平速度向右运动，接触弹簧后逐渐压缩弹簧并使B运动，经过一段时间，A与弹簧分离．
（1）当弹簧压缩至最短时，弹簧的弹性势能Ep为多大？
（2）若开始时，在B球的右侧某位置固定一块挡板，在A与弹簧未分离前使B球与挡板发生碰撞，并在碰撞后立即将挡板撤走．设B球与挡板碰撞时间极短，碰后B球的速度大小不变，但方向与原来相反．欲使此后弹簧被压缩到最短时弹簧的弹性势能能达到第（1）问中E_p的3倍，必须使两球在速度达到多大时与挡板发生碰撞？

Answer 1

分析：（1）当弹簧压缩至最短时，两球的速度相等，根据系统的动量守恒和机械能守恒列式，即可求出此时弹簧的弹性势能E_P．
（2）设B球与挡板碰撞时，A球速度为v₁、B球速度为v₂（均向右），根据动量守恒列式，B球与挡板刚碰后，A球速度为v₁、B球速度为-v₂（向左），此后弹簧压缩至最短时有共同速度，再由系统的动量守恒和机械能守恒列式，即可得解．

解答：解：（1）弹簧压缩至最短时，A、B速度均为v，选取向右为正方向，对于两球组成的系统，根据动量守恒定律，有：
  2mv₀=（2m+m）v
解得：v=

2

3

v₀
此过程中，只有弹簧的弹力做功，机械能守恒，根据系统的机械能守恒定律，有：
 

1

2

×2m

v

2 0

=E_p+

1

2

（2m+m）v²
解得：E_p=

1

3

m

v

2 0

（2）弹簧被压缩至最短时弹簧的弹性势能能达到第（1）问中E_p的3倍，即：
  E_p′=3×

1

3

m

v

2 0

=mv

2 0

设B球与挡板碰撞时，A球速度为v₁，B球速度为v₂，（均向右），B与挡板碰后弹簧被压缩到最短时共同速度为v′，则
根据碰后系统的机械能守恒得：E_p′=

1

2

×2m

v

2 0

-

1

2

（2m+m）v′²
由以上两式得，v′=0，所以此时小球A、B的总动量也为0，说明B球与挡板碰前瞬间两球动量等大，则有：
  2mv₁=2mv₂，
根据B与挡板碰后，AB的总动量守恒得：
  2mv₀=2mv₁+mv₂，
联立解得：v₁=

1

2

v₀，v₂=v₀，
答：（1）当弹簧压缩至最短时，弹簧的弹性势能Ep为

1

3

m

v

2 0

．
（2）必须使A球速度为

1

2

v₀，B球速度为v₀时与挡板发生碰撞．

点评：本题是含有弹簧的问题，关键要分析物体的运动过程，抓住系统的动量守恒和机械能守恒进行分析，综合性较强．