Question

13．在一次探测彗星的活动过程中，载着登陆舱的探测飞船总质量为m₁，在以彗星的中心为圆心、半径为r₁的圆轨道上运动，周期为T₁，寻找到合适的着陆点后，变轨到离彗星更近的半径为r₂的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m₂，登陆舱随后脱离飞船开始登陆，下列说法正确的是（　　）

• A． 彗星的质量M=$\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$
• B． 登陆舱在半径为r₂轨道上运动的周期T₂=T₁$\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$
• C． 登陆舱在半径为r₁与半径为r₂的轨道上运动的向心加速度之比为$\frac{{{r}_{1}}^{2}}{{{r}_{2}}^{2}}$
• D． 彗星表面的重力加速度g′=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{G{{T}_{1}}^{2}}$

Answer 1

分析 1、根据万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，化简可得月球的质量M．
2、根据开普勒第三定律$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=k，化简可得登陆舱在半径为r₂轨道上的周期T₂．
3、根据万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=ma可得向心加速度之比．
4、根据牛顿第二定律F=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r=ma，化简可得向心加速度，可以判断与月球表面的重力加速度的关系．

解答 解：A、根据万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，
载着登陆舱的探测飞船总质量为m₁，在以彗星的中心为圆心、半径为r₁的圆轨道上运动，周期为T₁，
可得，月球的质量M=$\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$，故A正确；
B、根据开普勒第三定律$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=k
载着登陆舱的探测飞船总质量为m₁，在以彗星的中心为圆心、半径为r₁的圆轨道上运动，周期为T₁，寻找到合适的着陆点后，变轨到离彗星更近的半径为r₂的圆轨道上运动，可得：T₂=T₁$\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$，故B正确；
C、根据万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=ma
可得，a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，
所以登陆舱在半径为r₁与半径为r₂的轨道上运动的向心加速度之比为$\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}_{1}^{2}}$，故C错误；
D、根据F=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r=ma，可得，载着登陆舱的探测飞船的加速度a=$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，
所以该加速度不等于星球表面的重力加速度，故D错误．
故选：AB．

点评 本题是典型的天体运动的问题，根据万有引力提供向心力是解决这类问题的重要的关系，要能根据题目的要求熟练选择不同的向心力的表达式．