Question

7．如图，重量为G可视为质点的小球在竖直光滑的细圆形管道内做完整的圆周运动，ab为过轨道圆心的水平线．下列说法正确的是（　　）

• A． 小球通过最高点时的最小速度为零
• B． 小球通过管道最低点时受到管壁的弹力最大为6G
• C． 小球在水平线ab以上运动时，一定对内侧管壁有作用力
• D． 小球在水平线ab以下运动时，一定对外侧管壁有作用力

Answer 1

分析 A、小球在竖直光滑圆形管道内做圆周运动，在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，从而可以确定在最高点的最小速度．由此可得知选项A的正误．
B，假设小球在最高点时不受管道的作用力，计算出此种情况下小球运动到最低点时与管道之间的作用力，即可得知选项B的正误．
CD、小球做圆周运动时，根据速度的大小结合沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，可得知选项CD的正误．

解答 解：A、在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，内管对小球产生弹力，大小为mg，故最小速度为0．选项A正确，
B、若小球在最高时的速度为v₁=$\sqrt{gR}$时，设小球通过轨道最低点时速度的大小为v₂，根据动能定理得：$\frac{1}{2}{m}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=2mgR
在最低点根据向心力公式有：F-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
解得F=6mg=6G，此时在最低点受到管壁的作用力为6G，若在最高点的速度大于$\sqrt{gR}$时，则在最低点时受到管壁的作用力大于6G，选项B错误．
C、小球在水平线ab以上管道中运动时，当速度非常大时，重力沿半径方向上的分量（指向圆心）小于所需的向心力，此时内侧管壁没有作用力，外侧管壁有作用力；当速度比较小时，重力沿半径方向上的分量（指向圆心）大于所需的向心力内侧管壁有作用力，此时小球对内壁有正压力．选项C错误；
D、小球在水平线ab以下管道运动，由于重力沿半径方向上的分力背向圆心，又因沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，由牛顿第三定律可知，小球一定对外侧管壁有作用力，故D正确．
故选：AD．

点评 解决本题的关键知道小球在竖直光滑圆形管道中运动，在最高点的最小速度为0，以及知道小球在竖直面内做圆周运动的向心力由沿半径方向上的合力提供．同时对于小球在竖直面内做圆周运动，要注意两个模型，一是细绳的模型，二是细杆的模型；若是细绳模型，在最高点时的最小速度为$\sqrt{gR}$，若是细杆的模型，在最高点时的速度最小可以为零．涉及到作用力与反作用力的，一定不要忘记牛顿第三定律．