Question

如图所示，带电平行金属板相距为2R，在两板间半径为R的圆形区域内有垂直纸成向里的匀强磁场，磁感应强度为B，两板及其左侧边缘连线均与磁场边界刚好相切．一质子（不计重力）沿两板间中心线O₁O₂从左侧O₁点以某一速度射入，沿直线通过圆形磁场区域，然后恰好从极板边缘飞出，在极板间运动时间为t₀．若仅撤去磁场，质子仍从O₁点以相同速度射入，经

t0

2

时间打到极板上．
（1）求两极板是电压U；
（2）求质子从极板间飞出时的速度大小；
（3）若两极板不带电，保持磁场不变，质子仍沿中心线O₁O₂从O₁点射入，欲使质子从两板左侧间飞出，射入的速度应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）粒子做匀速直线运动，由受力平衡条件，通过运动学公式与牛顿第二定律，结合电场力与洛伦兹力表达式，即可求解；
（2）由速度与时间关系，可求质子在沿电场方向的速度，因此可求出飞出极板间的速度大小；
（3）质子恰好从上极板左边缘飞出，因此由几何关系，结合运动学公式与向心力表达式，从而可求出质子两板左侧间飞出的条件．

解答：解：（1）设粒子从左侧O₁点射入的速度为v₀，极板长为L
粒子在初速度方向上做匀速直线运动L：(L-2R)=t0：

t0

2

，
解得：L=4R 
在电场中：L-2R=v0?

t0

2

由牛顿第二定律，a=

qE

m

又R=

1

2

a(

t0

2

)2
在复合场中作匀速运动：q

U

2R

=qv0B
解得v0=

4R

t0

，
则有，U=

8R2B

t0

（2）质子从极板间飞出时的沿电场方向分速度大小，v_y=

qE

m

t=

2R

t

=v0
从极板间飞出时的速度大小v=

v 2 0 + v 2 y

=

2

v0=

4 2 R

t0

（3）设质子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r，质子恰好从上极板左边缘飞出时速度的偏转角为α，
由几何关系可知，β=π-α=45°，
r+

2

r=R
因为R=

1

2

qE

m

(

t0

2

)2，
所以

qE

m

=

qv0B

m

=

8R

t 2 0

根据向心力公式，qvB=m

v2

r

，
解得：v=

2( 2 -1)

t0

R
所以质子两板左侧间飞出的条件为0＜v＜

2( 2 -1)

t0

R；
答：（1）两极板是电压U=

8R2B

t0

；
（2）质子从极板间飞出时的速度大小

4 2 R

t0

；
（3）射入的速度应满足0＜v＜

2( 2 -1)

t0

R条件．

点评：考查粒子做匀速直线运动、类平抛运动与匀速圆周运动的处理方法，掌握运动学公式与牛顿第二定律的综合应用，理解几何关系的正确使用．