Question

如图所示，在竖直平面内，一个木质小球（看成质点）悬挂于O点，悬线长为L，小球质量为M．一颗质量为m的子弹以水平速度v₀射人木球且留在其中，若木球在竖直平面内运动过程中悬线始终不发生松驰，求子弹速度v₀应满足的条件（重力加速度为g）．

Answer 1

分析：要使木球在竖直平面内运动过程中悬线始终不发生松驰，木球运动有两种情况：一是木球运动速度较大时将做完整圆周运动，二是木球速度较小时做不完整圆周运动（即摆动）．根据牛顿第二定律求出在最高点的最小速度，再根据机械能守恒定律求出子弹与木球在最低点的最小速度，最后通过动量守恒定律求出子弹做完整圆周运动的最小初速度．由机械能守恒定律求得子弹做不完整圆周运动最大速度．

解答：解：子弹击中木球时，由动量守恒定律得：
mV₀=（m+M）v₁
下面分两种情况：
（1）若小球能做完整的圆周运动，则在最高点满足：
  （m+M）g≤（m+M）

v 2 2

L

小球从最低点到最高点的过程中，由机械能守定律得：
 2(m+M)gL+

1

2

(M+m)

v

2 2

=

1

2

(M+m)

v

2 1

由以上各式解得：v0≥

m+M

m

5gL

．
（2）若木球不能做完整的圆周运动，则上升的最大高度为L时，（与O点在同一水平线上）应满足：

1

2

(M+m)

v

2 1

≤(M+m)gL
解得：v0≤

M+m

m

2gL

．
所以，要使小球在竖直平面内做悬线不松驰的运动，V₀应满足的条件是：v0≥

m+M

m

5gL

或 v0≤

M+m

m

2gL

．
答：子弹初速度V₀应满足的条件是：v0≥

m+M

m

5gL

或 v0≤

M+m

m

2gL

．

点评：本题综合考查了动量守恒定律、机械能守恒定律以及牛顿第二定律，关键理清整个运动过程，分两种情况进行讨论求解．