Question

11．2014年10月8日，月全食带来的“红月亮”亮相天空，引起人们对月球的关注．我国发射的“嫦娥三号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行．设卫星距月球表面的高度为h，做匀速圆周运动的周期为T．已知月球半径为R，引力常量为G．试求：
（1）月球表面的重力加速度g的大小；
（2）如果在月球表面上发射一颗绕月卫星，最小的发射速度是多大？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力重力和万有引力提供向心力求出月球表面的重力加速度．
（2）根据重力提供向心力求出在月球表面发射卫星的最小速度．

解答 解：（1）在月球表面，有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
卫星绕月球做圆周运动，有：$G\frac{Mm′}{（R+h）^{2}}=m′（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
联立解得：g=$\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{{{R^2}{T^2}}}$；                   
（2）根据重力提供向心力有：$mg=\frac{{m{v^2}}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{{R{T^2}}}}$．
答：（1）月球表面的重力加速度g的大小为$\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{{{R^2}{T^2}}}$；      
（2）如果在月球表面上发射一颗绕月卫星，最小的发射速度是$\sqrt{\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{{R{T^2}}}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力，并能灵活运用．