Question

20．如图所示，竖直面内有一足够长的、宽为a的虚线条形区域内存在垂直纸面向外、大小为B的匀强磁场，在左侧虚线上S处有一质子源，可向竖直面内各个方向发射速率相等的质子，当一质子与竖直向上的方向成θ=60°角发射时恰好垂直于磁场右边界射出，已知质子的比荷为$\frac{q}{m}$，不计质子的重力和质子间的相互作用力，则（　　）

• A． 粒子在磁场中运动的半径为a
• B． 粒子的速度大小为$\frac{2aBq}{m}$
• C． 质子打在磁场右边界的区域长度为2$\sqrt{3}$a
• D． θ=120°时，质子在磁场中运动的时间最长，且最长时间为$\frac{πm}{3Bq}$

Answer 1

分析 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，画出粒子在磁场中的运动轨迹，根据几何关系求出半径，由半径公式求出粒子速度大小，由临界轨迹求出质子打在磁场右边界的区域长度，运动时间最长的粒子圆心角最大，弧长最长，在磁场区域中的弦最大．

解答 解：A、画出粒子的运动轨迹如图所示，根据几何关系圆弧所对的圆心角θ=30°，$sin30°=\frac{a}{R}$
解得：R=2a，故A错误．
B、洛伦兹力提供向心力为：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
得：$R=\frac{mv}{qB}$
由A知R=2a
联立解得：$v=\frac{2aBq}{m}$，故B正确．
C、将半径为2a的圆，S点在圆上，顺时针旋转圆，与右侧边界的两个最远交点间的距离即为质子打在磁场右边界的区域长度，沿竖直方向入射的粒子θ=0°，从右边界的出射点就是最高点，随着入射方向θ不断增加，出射点下移，当θ=120°时，在右边界出射点最低，根据几何关系最高点与最低点之间的距离为：$l=2\sqrt{（2a）_{\;}^{2}-{a}_{\;}^{2}}=2\sqrt{3}a$，故C正确
D、通过画轨迹图可知，粒子在磁场中运动的时间最长，圆弧所对圆心角120°，运动时间为：$t=\frac{120°}{360°}T=\frac{1}{3}\frac{2πm}{qB}=\frac{2πm}{3qB}$，故D错误
故选：BC

点评 本题是带电粒子在有界磁场中的极值问题，解决本题的关键画出粒子的轨迹图，可以采取画圆扫动的思想分析极值问题．