Question

14．北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能．“北斗”系统中两颗工作卫星均绕地心O做匀速圆周运动，轨道半径为r，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A、B两位置（如图所示）．若卫星均按顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R．不计卫星间的相互作用力．则以下判断中正确的是（　　）

• A． 卫星1中质量为m的物体的动能为$\frac{1}{2}$mgr
• B． 卫星1向后喷气就一定能追上卫星2
• C． 卫星1由位置A运动到位置B所需的时间为$\frac{πr}{6R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$
• D． 这两颗卫星的加速度大小相等，均为$\frac{{R}^{2}g}{{r}^{2}}$

Answer 1

分析 卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，应用万有引力公式与牛顿第二定律求出线速度、周期、加速度，然后分析答题．

解答 解：A、卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，地球表面的物体受到的重力等于万有引力：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$，卫星1中质量为m的物体的动能：E_K=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{mg{R}^{2}}{2r}$，故A错误；
B、卫星1向后喷气，卫星1的速度变大，卫星1做圆周运动需要的向心力变大，大于该轨道的万有引力，卫星1做离心运动，轨道半径变大，卫星1不可能追上卫星2，故B错误；
C、卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，地球表面的物体受到的重力等于万有引力：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，解得：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{g{R}^{2}}}$，卫星1由位置A运动到位置B所需的时间：t=$\frac{60°}{360°}$T=$\frac{πr}{3R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$，故C错误；
D、卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma，地球表面的物体受到的重力等于万有引力：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，解得：a=$\frac{{R}^{2}g}{{r}^{2}}$，故D正确；
故选：D．

点评 关于做圆周运动的卫星类问题，要熟练运用两条基本思路：万有引力提供向心力，以及万有引力等于重力，灵活选择向心力公式的形式求解．