Question

9．如图所示为研究电子枪中电子在电场中运动的简化模型示意图．在Oxy平面的ABCD区域内，存在两个场强大小均为E的匀强电场I和II，两电场的边界均是边长为L的正方形（不计电子所受重力）．
（1）在该区域AB边的中点处由静止释放电子，求电子离开ABCD区域的位置．
（2）在电场I区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能从ABCD区域左下角D处离开，求所有释放点位置坐标满足的关系式．
（3）若将左侧电场II整体水平向右移动$\frac{L}{n}$（n≥1），仍使电子从ABCD区域左下角D处离开（D不随电场移动），求在电场I区域内由静止释放电子的所有位置．

Answer 1

分析 （1）电子在AB边的中点处由静止释放，受到水平向左的电场力作用而做匀加速直线运动，由动能定理可求出电子进入电场II时的速度．电子从CD区域右侧中点进入区域Ⅲ匀强电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，由牛顿第二定律和运动学公式结合求出电子离开ABCD区域的位置．
（2）在电场I区域内适当位置由静止释放电子，电子先在电场Ⅰ中做匀加速直线运动，进入电场Ⅱ后做类平抛运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求出位置x与y的关系式．

解答 解：（1）设电子的质量为m，电量为e，电子在电场I中做匀加速直线运动，设射出区域I时的为v₀．
根据动能定理得 eEL=$\frac{1}{2}$$m{v}_{0}^{2}$
进入电场II后电子做类平抛运动，假设电子从CD边射出，出射点纵坐标为y，有$\frac{L}{2}$-y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，a=$\frac{eE}{m}$，t=$\frac{L}{{v}_{0}}$
解得：y=$\frac{L}{4}$，即电子离开ABCD区域的位置坐标为（-2L，$\frac{L}{4}$）．
（2）设释放点在电场区域I中，其坐标为（x，y），在电场I中电子被加速到v₁，然后进入电场II做类平抛运动，并从D点离开，
有：eEx=$\frac{1}{2}$$m{v}_{1}^{2}$，y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}\frac{eE}{m}（\frac{L}{{v}_{1}}）^{2}$
以上两式联立解得：xy=$\frac{{L}^{2}}{4}$，即在电场I区域内满足方程的点即为所求位置．
（3）设电子从（x，y）点释放，在电场I中加速到v₂，进入电场II后做类平抛运动，在高度为y′处离开电场II时的情景与（2）中类似，然后电子做匀速直线运动，经过D点，则有：$eEx=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$，$y-y′=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{eE{L}^{2}}{2md{v}_{2}^{2}}$，
${v}_{y}=at=\frac{eEL}{m{v}_{2}}$，
得：$y′={v}_{y}\frac{L}{n{v}_{2}}$
以上各式解得：xy=${L}^{2}（\frac{1}{2n}+\frac{1}{4}）$，即在电场I区域内满足方程的点即为所求位置．
答：（1）在该区域AB边的中点处由静止释放电子，电子从（（-2L，$\frac{L}{4}$）离开ABCD区域．
（2）在电场I区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能从ABCD区域左下角D处离开，所有释放点为满足xy=$\frac{{L}^{2}}{4}$的位置．
（3）若将左侧电场II整体水平向右移动$\frac{L}{n}$（n≥1），仍使电子从ABCD区域左下角D处离开（D不随电场移动），
在电场I区域内由静止释放电子的所有位置为xy=${L}^{2}（\frac{1}{2n}+\frac{1}{4}）$，

点评 本题考核了带电粒子在简化的电子枪模型中的运动情况，是一道拓展型试题，与常见题所不同的是，一般试题是已知电子的出发点，然后求电子在电场作用下运动过程中的轨迹或离开电场的出射点位置，而本题则是反其道而行之，是规定了电子的出射点，要反推出在何处发出电子才能满足所述要求．从内容看，该题涉及的是电子在电场中的运动，这部分知识学生相对比较熟悉，也是经常训练的题型之一，只不过本题作了拓展．