Question

如图所示，在竖直平面内固定着光滑的1/4圆弧槽，它的末端切线水平，上端离地面H，一个质量为m的小球从上端无初速滑下，若使小球的水平射程出现最大值，则圆弧槽的半径为多大？此情况下，小球达圆弧末端时对槽的压力多大？

Answer 1

分析：小球在光滑的

1

4

圆弧槽上滑下过程，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律求出小球离开圆弧槽时的速度，由平抛运动知识求出小球水平射程与半径R的关系式，根据数学知识求解水平射程达最大值的条件．

解答：解：设圆弧半径为R，从小球被释放到水平抛出，设水平抛出时小球的速度为v，由机械能守恒有：
mgR=

1

2

mv2
解得：v=

2gR

从抛出到落地为平抛运动，设水平位移为x，平抛运动的时间为t，则有：
在水平方向上：x=vt
在竖直方向上：y=H-R=

1

2

gt2
联立解得：x=2

R(H-R)

当R=H-R时，X有最大值x_m，
即：R=

H

2

时，水平射程出现最大值为x_m=H
小球达圆弧末端时，对小球受力分析，受重力和支持力，合力提供向心力，由牛顿第二定律有：
N-mg=m

v2

R

解得：N=3mg
由牛顿第三定律可得：N′=N=3mg
答：若使小球的水平射程出现最大值，则圆弧槽的半径为

H

2

，此情况下，小球达圆弧末端时对槽的压为3mg．

点评：本题考查应用数学知识求解物理极值的能力，这也是物理上常用的方法，往往先根据物理规律得到解析式，再由数学知识求极值．