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如图所示,在竖直平面内固定着光滑的1/4圆弧槽,它的末端切线水平,上端离地面H,一个质量为m的小球从上端无初速滑下,若使小球的水平射程出现最大值,则圆弧槽的半径为多大?此情况下,小球达圆弧末端时对槽的压力多大?
分析:小球在光滑的
1
4
圆弧槽上滑下过程,只有重力做功,机械能守恒,由机械能守恒定律求出小球离开圆弧槽时的速度,由平抛运动知识求出小球水平射程与半径R的关系式,根据数学知识求解水平射程达最大值的条件.
解答:解:设圆弧半径为R,从小球被释放到水平抛出,设水平抛出时小球的速度为v,由机械能守恒有:
mgR=
1
2
mv2

解得:v=
2gR

从抛出到落地为平抛运动,设水平位移为x,平抛运动的时间为t,则有:
在水平方向上:x=vt
在竖直方向上:y=H-R=
1
2
gt2

联立解得:x=2
R(H-R)

当R=H-R时,X有最大值xm
即:R=
H
2
时,水平射程出现最大值为xm=H
小球达圆弧末端时,对小球受力分析,受重力和支持力,合力提供向心力,由牛顿第二定律有:
N-mg=m
v2
R

解得:N=3mg
由牛顿第三定律可得:N′=N=3mg
答:若使小球的水平射程出现最大值,则圆弧槽的半径为
H
2
,此情况下,小球达圆弧末端时对槽的压为3mg.
点评:本题考查应用数学知识求解物理极值的能力,这也是物理上常用的方法,往往先根据物理规律得到解析式,再由数学知识求极值.
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(2)若v0=3.8m/s,经过一段时间小球到达最高点,内轨道对小球的支持力F=2N,则小球在这段时间内克服摩擦力做的功是多少
(3)若v0=3.9m/s,经过足够长的时间后,小球将在BAD间做往复运动,则小球经过最低点A时受到的支持力为多少?小球在整个运动过程中减少的机械能是多少.

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