Question

19．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度大小为g．一颗人造地球卫星沿着离地面高度为R的圆形轨道绕地球做匀速圆周运动．已知地球表面的物体随地球自转所需要的向心力可不计．求
（1）卫星的向心加速度度a_n
（2）卫星绕地球运转的角速度ω
（3）卫星绕地球运转的线速度v．

Answer 1

分析 （1）根据地球表面处重力等于万有引力和卫星受到的万有引力等于向心力列式求解；
（2）根据向心力公式列式求解角速度ω．
（3）根据向心力公式列式求解线速度v．

解答 解：（1）设地球的质量为M，引力常量为G．因为地球表面的物体随地球自转所需要的向心力可忽略不计，
故对位于地球表面的质量为m的物体，有$G\frac{Mm}{R^2}=mg$
解得　$g=G\frac{M}{R^2}$
对沿轨道运行的人造地球卫星，由万有引力定律和牛顿第二定律可得
$F=G\frac{Mm}{{{{（R+R）}^2}}}=m{a_n}$
解得　${a_n}=G\frac{M}{{4{R^2}}}=\frac{1}{4}g$
（2）根据向心力公式列式 ${a_n}={ω^2}r=\frac{v^2}{r}$
$可得ω=\sqrt{\frac{a_n}{r}}=\sqrt{\frac{g}{4×2R}}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{2g}{R}}$
（3）根据向心力公式列式${a_n}={ω^2}r=\frac{v^2}{r}$
线速度大小为　$v=\sqrt{{a_n}r}=\sqrt{\frac{g}{4}•2R}=\frac{{\sqrt{2gR}}}{2}$
答：（1）卫星的向心加速度度是$\frac{1}{4}$g，
（2）卫星绕地球运转的角速度是$\frac{1}{4}$$\sqrt{\frac{2g}{R}}$，
（3）卫星绕地球运转的线速度是$\frac{\sqrt{2gR}}{2}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力和万有引力提供向心力这两个理论，并能灵活运用．