Question

20．在水平面上，平放一半径为R的光滑半圆管道，管道处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中，另有一个质量为m、带电量为+q的小球．
（1）当小球从管口沿切线方向以某速度射入，运动过程中恰不受管道侧壁的作用力，求此速度v₀；
（2）现把管道固定在竖直面内，且两管口等高，磁场仍保持和管道平面垂直，如图所示，空间再加一个水平向右、场强E=$\frac{mg}{q}$的匀强电场（未画出），若小球仍以v₀的初速度沿切线方向从左边管口射入，求小球：①运动到最低点的过程中动能的增量；②在管道运动全程中获得的最大速度．

Answer 1

分析 （1）小球在圆轨道中运动时，恰不受管道侧壁的作用力，则小球受到的洛仑兹力提供向心力，由此可以算出小球的初速度．
（2）当把管道从竖直面固定在竖直面、磁场和电场方向也做相应变化，同样以相同的速度v₀进入管道，由动能定理就能求出小球到达最低点时动能的增量；至于最大速度可以参照仅在重力场中的情况进行对比，当等效“重力”做功最多时，速度最大，同样由动能定理求出最大速度，本解用两种方法来求，第一种方法作为参考．

解答 解：（1）小球在水平面上只受到洛仑兹力作用，故$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
  解得：v₀=$\frac{qBR}{m}$
（2）小球在管道运动时，洛仑兹力始终不做功，对小球运动到最低点的过程中，由动能定理：
   mgR+qER=△E_k
   由题意：$E=\frac{mg}{q}$
  联合以上两式得：动能的增量△E_k=2mgR
求最大速度方法一：
当小球到达管道中方位角为θ的位置（如图所示）进，应用动能定理有：
$mgRsinθ+Eq（R+Rcosθ）=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
  即：${v}^{2}=\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{{m}^{2}}+2gR+2gR（sinθ+cosθ）$
对函数y=sinθ+cosθ求极值，可得θ=45°时，y_max=$\sqrt{2}$
所以v_m=$\sqrt{\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{{m}^{2}}+（2+2\sqrt{2}）gR}$
求最大速度方法二：
如图所示，根据场的叠加原理，小球所受的等效重力为：
   $mg′=\sqrt{（mg）^{2}+（Eq）^{2}}\sqrt{2}mg$
   $tanφ=\frac{mg}{Eq}=1$  
即  φ=45°
  小球在等效重力场的最低点时，即当小球到达管道中方位角为θ=∅=45°时，
速度最大．
  由动能定理：
  $mgRsinθ+qE（R+Rsinθ）=\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
 解得：v_m=$\sqrt{\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{{m}^{2}}+（2+2\sqrt{2}）gR}$
答：（1）当小球从管口沿切线方向以某速度射入，运动过程中恰不受管道侧壁的作用力，求此速度v₀为$\frac{qBR}{m}$．
（2）现把管道固定在竖直面内，且两管口等高，磁场仍保持和管道平面垂直，如图所示，空间再加一个水平向右、场强E=$\frac{mg}{q}$的匀强电场（未画出），若小球仍以v₀的初速度沿切线方向从左边管口射入，则小球：①运动到最低点的过程中动能的增量为2mgR；②在管道运动全程中获得的最大速度$\sqrt{\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{{m}^{2}}+（2+2\sqrt{2}）gR}$．

点评 本题的靓点有二：①是小球在竖直向下的匀强磁场中水平管道内做匀速圆周运动，对圆管道的侧壁均无压力，则表明小球受到的洛仑兹力提供向心力，于是可以求出进入管道的速度；②是当把管道和磁场、电场方向调整方向后，求最大速度，此时可以用等效的方法--把重力和电场力等效为一个“力”进行处理．