Question

已知甲、乙两行星的半径之比为a，它们各自的第一宇宙速度之比为b，则下列结论正确的是（　　）

A．甲、乙两行星的平均密度之比为b²：a²

B．甲、乙两行星表面的重力加速度之比为1：a²

C．甲、乙两行星各自的卫星的最小周期之比为a：b

D．甲、乙两行星各自的卫星的最大角速度之比为b：1

Answer 1

分析：根据第一宇宙速度公式得到行星的质量，求出行星密度的表达式，再求解两行星平均密度之比．行星表面的重力加速度表达式为g=

GM

R2

，可求出两行星表面的重力加速度之比．
卫星绕行星表面附近运行时周期最小，角速度最大，由万有引力等于向心力求出周期和角速度的表达式，再求解周期和角速度之比．

解答：解：A、设任一行星的质量为M，半径为R，则其第一宇宙速度为v=

GM R

，得，M=

Rv2

G

行星的平均密度为  ρ=

M

4 3 πR3

=

Rv2 G

4 3 πR3

=

3v2

4πGR2

则得，ρ_甲：ρ_乙=

v 2 甲

R甲

：

v 2 乙

R乙

=b²：a²．故A正确．
B、行星表面的重力加速度表达式为g=a=

v2

R

，则得到，甲、乙两行星表面的重力加速度之比为1：a．故B错误．
C、根据开普勒第三定律得知，卫星绕行星表面附近运行时半径最小，周期最小，则角速度最大，则有
    T=

2πR

v

，ω=

v

R

则得，甲、乙两行星各自的卫星的最小周期之比为T_甲：T_乙=a：b，最大角速度之比为b：a．故C正确，D错误．
故选AC

点评：本题运用比例法求解．关键要掌握行星的第一宇宙速度、表面重力加速度的公式，再根据比例法求解．