Question

15．如图所示，一面积为S的单匝圆形金属线圈与阻值为R的电阻连接成闭合电路，不计圆形金属线圈及导线的电阻．线圈内存在一个方向垂直纸面向里、磁感应强度大小均匀增加且变化率为k的磁场B_t．电阻R两端并联一对平行金属板M、N，两板间距为d，N板右侧xOy坐标系（坐标原点O在N板的下端）的第一象限内，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场边界OA和y轴的夹角∠AOy=45°，AOx区域为无场区．在靠近M板处的P点由静止释放一质量为m、带电荷量为+q的粒子（不计重力），经过N板的小孔，从点Q（0，L）垂直y轴进入第一象限，经OA上某点离开磁场，最后垂直x轴离开第一象限．求：
（1）平行金属板M、N获得的电压U；
（2）粒子到达Q点时的速度大小
（3）yOA区域内匀强磁场的磁感应强度B；
（4）粒子从P点射出到到达x轴的时间．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律，求出闭合电路的电动势，即得到平行金属M、N获得的电压U；
（2）由动能定理求出粒子经过MN间的电场加速度获得的速度．
（3）正确画出粒子在磁场中的运动轨迹，根据几何关系找出粒子运动的半径的大小，根据牛顿第二定律和向心力公式求得磁场的磁感应强度；
（4）粒子从P点射出到到达x轴的时间为三段运动过程的时间之和．

解答 解：根据法拉第电磁感应定律，闭合线圈产生的感应电动势为：
  E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B•S}{△t}$=kS…①
因平行金属板M、N与电阻并联，故M、N两板间的电压为：
  U=U_R=E=kS…②
（2）带电粒子在M、N间做匀加速直线运动，有：
  qU=$\frac{1}{2}$mv² …③
所以：v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}=\sqrt{\frac{2qkS}{m}}$
（3）带电粒子进入磁场区域的运动轨迹如图所示，有：
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…④
由几何关系可得：
  r+rcot45°=l…⑤
联立②③④⑤得：B=$\frac{2}{l}•\sqrt{\frac{2mkS}{q}}$；
（4）粒子在电场中做匀加速直线运动，则有：
  d=$\frac{1}{2}$at₁²
根据牛顿第二定律得：q$\frac{U}{d}$=ma
粒子在磁场中，有：
  T=$\frac{2πr}{v}$
  t₂=$\frac{1}{4}$T
粒子在第一象限的无场区中，有：
  s=vt₃
由几何关系得：s=r
粒子从P点射出到到达x轴的时间为：
  t=t₁+t₂+t₃
联立以上各式可得：
  t=（2d+$\frac{π+2}{4}l$）$\sqrt{\frac{m}{2qkS}}$；
答：（1）平行金属板M、N获得的电压U为kS；
（2）粒子到达Q点时的速度大小是$\sqrt{\frac{2qkS}{m}}$；
（3）yOA区域内匀强磁场的磁感应强度为$\frac{2}{l}•\sqrt{\frac{2mkS}{q}}$；
（4）粒子从P点射出到到达x轴的时间为（2d+$\frac{π+2}{4}l$）$\sqrt{\frac{m}{2qkS}}$

点评 本题是粒子在磁场中匀速圆周运动和电磁感应的综合．磁场中圆周运动常用方法是画轨迹，由几何知识求半径．