Question

14．如图甲所示，倾角为θ的光滑斜面上有两个宽度均为d的磁场区域I、Ⅱ，磁感应强度大小都为B，区域I的磁感应强度方向垂直斜面向上，区域Ⅱ的磁感应强度方向垂直斜面向下，两磁场区域间距为d．斜面上有一矩形导体框，其质量为m，电阻为R，导体框ab、cd边长为l，bc、ad边长为$\frac{3}{2}$d．刚开始时，导体框cd边与磁场区域I的上边界重合；t=0时刻，静止释放导体框；t₁时刻ab边恰进入磁场区域Ⅱ，框中电流为I₁；随即平行斜面垂直于cd边对导体框施加力，使框中电流均匀增加，到t₂时刻框中电流为I₂．此时，ab边未出磁场区域Ⅱ，框中电流如图乙所示．求：

（1）在0～t₂时间内，通过导体框截面的电荷量；
（2）在0～t₁时间内，导体框产生的热量；
（3）在t₁～t₂时间内，导体框运动的加速度．

Answer 1

分析 （1）由法拉第电磁感应定律求出感应电动势，由欧姆定律求出电流，由电流定义式求出电荷量．
（2）由动能定理求出安培力做功，然后求出产生的热量．
（3）根据图示图象求出电流的表达式，由欧姆定律求出金属框的速度表达式，再由匀变速运动的规律，解出加速度．

解答 解：（1）由法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律和电流的定义，得0～t₁阶段：
通过导体框截面的电量 q₁=$\frac{Bdl}{2R}$
由电流的定义，得t₁～t₂阶段：通过导体框截面的电量 q₂=$\frac{{I}_{1}+{I}_{2}}{2}$（t₂-t₁）
0～t₂阶段：通过导体框截面的电量 q=q₁+q₂=$\frac{Bdl}{2R}$+$\frac{{I}_{1}+{I}_{2}}{2}$（t₂-t₁）
（2）设导体框t₁时刻的速度为v₁，在0～t₁阶段：因 I₁=$\frac{2Bl{v}_{1}}{R}$，可得：v₁=$\frac{{I}_{1}R}{2Bl}$
根据动能定理可得：mg$\frac{d}{2}$sinθ+W_安=$\frac{1}{2}$mv₁²-0
联立可得：W_安=-（mg$\frac{d}{2}$sinθ-$\frac{m{I}_{1}^{2}{R}^{2}}{8{B}^{2}{l}^{2}}$）
导体框产生的热量等于克服安培力做功，即Q=-W_安=mg$\frac{d}{2}$sinθ-$\frac{m{I}_{1}^{2}{R}^{2}}{8{B}^{2}{l}^{2}}$
（3）t₁～t₂阶段，因I₁=$\frac{2Bl{v}_{1}}{R}$，由图可知I随时间均匀增加，
则$\frac{{I}_{2}-{I}_{1}}{{t}_{2}-{t}_{1}}$=$\frac{2Bl}{R}$•$\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{{t}_{2}-{t}_{1}}$
即：则$\frac{{I}_{2}-{I}_{1}}{{t}_{2}-{t}_{1}}$=$\frac{2Bl}{R}$•a
解得：a=$\frac{R}{2Bl}$•$\frac{{I}_{2}-{I}_{1}}{{t}_{2}-{t}_{1}}$
答：
（1）在0～t₂时间内，通过导体框截面的电荷量是$\frac{Bdl}{2R}$+$\frac{{I}_{1}+{I}_{2}}{2}$（t₂-t₁）；
（2）在0-t₁时间内，导体框产生的热量是mg$\frac{d}{2}$sinθ-$\frac{m{I}_{1}^{2}{R}^{2}}{8{B}^{2}{l}^{2}}$；
（3）在t₁-t₂时间内，导体框运动的加速度是$\frac{R}{2Bl}$•$\frac{{I}_{2}-{I}_{1}}{{t}_{2}-{t}_{1}}$．

点评 本题考查了求电荷量、线框产生的热量、求力的表达式等问题，一道力学与电磁感应、电学相结合的综合题，难度较大，分析清楚线框的运动过程、应用法拉第电磁感应定律、欧姆定律、电流定义式、安培力公式、动能定理、牛顿第二定律等即可正确解题．