Question

9．一条圆柱形的光导纤维长度为L=1200m，它的玻璃芯外层材料的折射率为n₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，它的内层玻璃芯材料的折射率为n₂=$\frac{3}{2}$，将其置于空气中，如图所示．求：
（1）若从A端射入的光线能在玻璃纤维中发生全反射，最后从B端射出，光在A端面上入射角的最大值．
（2）若一束光在纤维中恰好发生全反射，由A端射入到B端射出经历的时间为多少？
（3）若n₂=$\frac{3}{2}$不变，要使从A端射入的光线不论入射角多大，都能在玻璃纤维中发生全反射，而从B端射出，玻璃纤维外层材料的折射率的取值范围应为多大？

Answer 1

分析 （1）光线在光纤侧面恰好发生全反射时，入射角等于临界角C，光在A面上入射角最大，先根据公式sinC=$\frac{1}{n}$，求出临界角C，再由几何关系求出光线在A端面的折射角，即可由折射率公式求解入射角的最大值．
（2）由数学知识求出从左端射入到右端射出光线通过的路程x．光在光纤中的传播速度为v=$\frac{c}{n}$，由t=$\frac{x}{v}$求解时间．或求出光在沿纤维轴线方向上的速度分量求解时间．
（3）当入射角θ₁=90°时，折射率最小，从而即可求解．

解答 解：

（1）如图所示，由题意可知由于n₂＞n₁，因此只要从端面A进入的光线射在内外层界面处的入射角θ大于等于其临界角C，从A端射入的光线便能在玻璃纤维中发生全反射，最后从B端射出．由几何关系可知，θ取最小值C时，端面A的折射角r和入射角i有最大值．
由光的折射规律可知：
n₂=$\frac{sini}{sinr}$…①
内层玻璃芯材料相对外层材料的折射率为：$n=\frac{{n}_{2}}{{n}_{1}}$…②
内层玻璃芯材料相对外层材料的全反射临界角为C，则：sinC=$\frac{1}{n}$…③
由几何关系：r=90°-C…④
解①②③④得：i=60°
（2）光在玻璃纤维芯中传播速度为v=$\frac{c}{{n}_{2}}$（c为真空中光速）…⑤
沿光纤轴向速度分量为v₁=vsinC…⑥
所用时间为t=$\frac{L}{{v}_{1}}$…⑦
解③⑤⑥⑦得t=3$\sqrt{6}$×10^-6s
（3）若端面A处入射角取最大为i=90°时，都能在玻璃纤维中发生全反射，
而从B端射出．则从A端射入的光线不论入射角多大，都能在玻璃纤维中发生全反射，而从B端射出．因此，当n₂=$\frac{3}{2}$不变，i=90°时，解①②③④得，n₁=$\frac{\sqrt{5}}{2}$
所以1≤n₁≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$
答：（1）若从A端射入的光线能在玻璃纤维中发生全反射，最后从B端射出，光在A端面上入射角的最大值60°．
（2）若一束光在纤维中恰好发生全反射，由A端射入到B端射出经历的时间为3$\sqrt{6}$×10^-6s；
（3）若n₂=$\frac{3}{2}$不变，要使从A端射入的光线不论入射角多大，都能在玻璃纤维中发生全反射，而从B端射出，玻璃纤维外层材料的折射率的取值范围应为1≤n₁≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 是对于几何光学问题，一定要画出光路图，并根据题意找出临界角与其他角度的关系，再结合相应的规律解题．