Question

图所示，质量为m，电荷量为-q，重力不能忽略的带电微粒，以初速度v₀从金属板中央平行于金属板方向射入，金属板长为L，间距为d．求：
（1）微粒沿直线运动时的板间电压；
（2）微粒可以在两板间穿过时，两板间电压的范围；
（3）若不计微粒的重力，微粒穿过电场时速度的最大值．

Answer 1

（1）微粒沿直线运动，则受力平衡，即mg=q

U

d

故板间电压U=

mgd

q

（2）微粒可以在两板间穿过，两临界点分别是恰沿上、下极板穿出：水平位移最小为L：
当电场力大于重力时，此时板间电压设为U₁，加速度a=

q U1 d -mg

m

=

qU1-mgd

md

，微粒恰能沿着上极板穿出，
竖直方向：

d

2

=

1

2

at2=

1

2

qU1-mgd

md

t² ①
水平方向：s=v₀t=L ②
联立①②得：U₁=

m v 20 d2

qL2

+

mgd

q

当重力大于电场力时，此时板间电压设为U₂，加速度a=

mgd-qU2

md

，此时微粒恰能沿着下极板穿出
竖直方向：

d

2

=

1

2

at2=

1

2

mgd-qU2

md

t² ③
水平方向：s=v₀t=L ④
联立③④得：U₂=

mgd

q

-

m v 20 d2

qL2

微粒可以在两板间穿过时，两板间电压的范围U₂≤U≤U₁
即：

mgd

q

-

m v 20 d2

qL2

≤U≤

m v 20 d2

qL2

+

mgd

q

；
（3）若不计微粒的重力，即微粒只受电场力作用，要求最大速度即微粒刚好穿过两板时的速度
微粒刚好穿过电场时，水平位移s=v₀t=L ⑤
竖直位移：y=

d

2

=

1

2

at2 ⑥
则：a=

v 20 d

L2

根据F=ma，可得：F=

m v 20 d

L2

根据动能定理可得：F?

d

2

=

1

2

mv2-

1

2

m

v

20

解得：v=v₀

1+ d2 L2

答：（1）微粒沿直线运动时的板间电压为

mgd

q

；
（2）微粒可以在两板间穿过时，两板间电压的范围为

mgd

q

-

m v 20 d2

qL2

≤U≤

m v 20 d2

qL2

+

mgd

q

（3）若不计微粒的重力，微粒穿过电场时速度的最大值为v₀

1+ d2 L2

．