Question

（2008?江苏模拟）如图所示，在倾角为30°的斜面OA的左侧有一竖直档板，其上有一小孔P，OP=0.5m．现有一质量m=4×10^-20kg，带电量q=+2×10^-14C的粒子，从小孔以速度v₀=3×10⁴m/s水平射向磁感应强度B=0.2T、方向垂直纸面向外的一圆形磁场区域．且在飞出磁场区域后能垂直打在OA面上，粒子重力不计．求：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径；
（2）粒子在磁场中运动的时间；
（3）圆形磁场区域的最小半径．
附加题：（4）若磁场区域为正三角形且磁场方向垂直向里，粒子运动过程中始终不碰到挡板，其他条件不变，求：此正三角形磁场区域的最小边长．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律求出粒子在磁场中做圆周运动的半径，并由圆周运动公式求出周期．
（2）画出粒子运动的轨迹如图，由几何知识得到轨迹对应的圆心角θ，由t=

θ

π

T求出粒子在磁场中运动的时间；
（3）当粒子的轨迹圆正好以PQ为直径时，圆形磁场区域的半径最小，则知最小半径的值．
（4）若磁场区域为正三角形且磁场方向垂直向里，粒子运动过程中始终不碰到挡板，其他条件不变，由几何关系可求圆周半径，可求正三角形磁场区域的最小边长．

解答：解：（1）粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得
qvB=m

v2

r

，T=

2πr

v

得：r=

mv

qB

=0.3m
（2）画出粒子运动的轨迹如图，由几何知识得到轨迹对应的圆心角θ=60°，则粒子在磁场中运动的时间为
   t=

θ

2π

T=

1

6

T=

πm

3qB

=

π

3

×10^-5s
（3）当粒子的轨迹圆正好以PQ为直径时，圆形磁场区域的半径最小，根据几何知识得知，PQ=r，则磁场最小的半径为R_min=

r

2

=0.15m
（4）画出粒子的运动轨迹如图，由数学知识可得：L=

2r+rcos30°

cos30°

得：L=

mv

qB

(

4

3

+1)=

4 3 +3

10

=0.99m
答：（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径为0.3m
（2）粒子在磁场中运动的时间

π

3

×10^-5s；
（3）圆形磁场区域的最小半径0.15m．
（4）此正三角形磁场区域的最小边长0.99m．

点评：本题中圆形磁场区域最小的直径等于入射点与出射点间的距离是常用的经验结论，在本题中要灵活运用．