Question

3．如图在xOy坐标系第Ⅰ象限，磁场方向垂直xOy平面向里，磁感应强度大小均为B=1.0T；电场方向水平向右，电场强度大小均为E=$\sqrt{3}$N/C．一个质量m=2.0×10^-7kg，电荷量q=2.0×10^-6C的带正电粒子从x轴上P点以速度v₀射入第Ⅰ象限，恰好在xOy平面中做匀速直线运动．0.10s后改变电场强度大小和方向，带电粒子在xOy平面内做匀速圆周运动，取g=10m/s²．求：
（1）带电粒子在xOy平面内做匀速直线运动的速度v₀大小和方向；
（2）带电粒子在xOy平面内做匀速圆周运动时电场强度的大小和方向；
（3）若匀速圆周运动时恰好未离开第Ⅰ象限，x轴上入射P点应满足何条件？

Answer 1

分析 （1）粒子在复合场中做匀速直线运动，受力平衡，受力分析后应用平衡条件求解即可．
（2）带电粒子在xoy平面内做匀速圆周运动时，电场力F_电必须与重力平衡，洛伦兹力提供向心力．
（3）带电粒子匀速圆周运动恰好未离开第1象限，圆弧左边与y轴相切，画出图象，找出轨道半径，利用洛伦兹力提供向心力公式计算即可．

解答 解：（1）如图粒子在复合场中做匀速直线运动，设速度v₀与x轴夹角为θ，依题意得：粒子合力为零    ①
重力mg=2.0×10^-6N，电场力F_电=Eq=2$\sqrt{3}$×10^-6N

洛伦兹力$f=\sqrt{（mg）^{2}+{{F}_{电}}^{2}}=\sqrt{4+12}×1{0}^{-6}$N=4.0×10^-6N   ②
由f=qv₀B得，代入数据解得  v₀=2 m/s                ③
$tanθ=\frac{qE}{mg}$=$\sqrt{3}$，解得  θ=60°               ④
速度v₀大小2 m/s，方向斜向上与x轴夹角为60°
（2）带电粒子在xOy平面内做匀速圆周运动时，电场力F_电必须与重力平衡，洛伦兹力提供向心力．
故电场强度$E=\frac{mg}{q}=1.0N/C$   ⑤
 方向竖直向上； ⑥
（3）如图带电粒子匀速圆周运动恰好未离开第1象限，
圆弧左边与y轴相切N点；          ⑦
PQ匀速直线运动，PQ=v₀t=0.2 m     ⑧
洛伦兹力提供向心力，$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$    ⑨

整理并代入数据得R=0.2 m                        ⑩
由几何知识得OP=R+Rsin60°-PQcos60°═0.27 m    
x轴上入射P点离O点距离至少为0.27 m
答：（1）带电粒子在xOy平面内做匀速直线运动的速度v₀大小为2m/s，方向斜向上与x轴夹角为60°；
（2）带电粒子在xOy平面内做匀速圆周运动时电场强度的大小为1N/C，方向竖直向上；
（3）若匀速圆周运动时恰好未离开第Ⅰ象限，x轴上入射P点应满足入射P点离O点距离至少为0.27 m．

点评 带电粒子在电磁场中的运动一般有匀速直线运动、圆周运动和一般的曲线运动；匀速直线运动一般平衡条件求解，圆周运动由洛仑兹力充当向心力，一般的曲线运动一般由动能定理求解．临界问题需要画出运动轨迹，找出临界条件进行求解．