Question

船由静止开始沿直线航行，它在水中航行时所受的阻力与其速度成正比．若保持牵引力恒定，则经过时间t₁后，其速度和加速度分别为v、a₁，最终以2v的速度作匀速运动；若保持牵引力的功率恒定，则经过时间t₂后，其速度和加速度分别为v、a₂，最终也以2v的速度作匀速运动．下列关系正确的是（　　）

A．t₁=t₂

B．a₂=3a₁

C．t₁＞t₂

D．a₂=2a₁

Answer 1

分析：1、以恒定牵引力启动的物理过程：
根据牛顿第二定律，a=

F-f

m

=

F-kv

m

，由于F恒定，速度增大，所以加速度减小，故做加速度减小的加速运动．
又P=Fv，由于速度增大，所以功率增大．    
到t₁时刻，为v、a₁，当F=f=k?2v时，a=0，匀速2v，P=F?2v=4kv²．  
需要注意的是，虽然牵引力恒定，但船所受阻力跟速度成正比，故合外力是变力，不是匀变速运动．
2、以恒定功率启动的物理过程：
根据牛顿第二定律，a′=

F′-f

m

=

P v′ -kv′

m

，由于P恒定，速度增大，所以加速度减小，故做加速度减小的加速运动．
到t₂时刻，为v、a₂，当F′=f=k?2v时，a′=0，匀速2v，P′=F?2v=4kv²
故有最终功率相等．

解答：解：1、先讨论B和D选项的加速大小：
以恒定的牵引力启动经过时间t₁时满足方程：
                     F-kv=ma₁----①
以2v的速度作匀速运动时满足方程：
                     F-k2v=0----②
由①②两式可得
            kv=ma₁----③
船以恒定的功率启动经过时间t₂时，设牵引力为F′，则
            F′-kv=ma₂----④
设恒定功率为P，则
            P=F′v----⑤
由于功率一定，两次最终也以2v的速度作匀速运动，匀速运动时满足方程：
                     P=F2v----⑥
由⑤⑥两式得：
            F′=2F代入④得
            2F-kv=ma₂----⑦
将②代入上式得
            3kv=ma₂----⑧
由③⑧两式相比可得：
a₂=3a₁                                                                
故BD选项均错误．
2、再讨论A和C选项的时间大小：
    关于时间的比较用v-t图象加以分析比较方便．画出两船的v-t图象，图线的斜率等于其加速度，注意利用速度均为v时，a₂=3a₁；速度为2v时，均匀速运动，故得图线如图所示，图中甲表示以恒定牵引力启动，乙表示以恒定功率启动．
　　由图可知，开始阶段，乙的加速度是甲的3倍，乙的速度增加比甲快，乙的位移大于甲，速度达到v时，从图中很直观看出t₁＞t₂，故C选项正确．
综上所述，本题的正确答案应是C．
故选：BC．

点评：解决此类问题的关键是“三分析”--分析受力，根据牛顿运动定律确定运动性质；以加速度为桥梁，分析运动及其变化过程；分析收尾状态，明确特征及其条件．对于变力作用下的运动过程处理（例如本题求由静止启动到最终匀速运动的位移和时间），因涉及微积分，中学只能用动能定理求解或图象法求解．本题思维难度较大，属于难题．